绝密★启用前 试卷类型:A
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学(理科) 2015.4
本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.
参考公式:如果柱体的底面积为 ,高为 ,则柱体的体积为 ;
如果随机变量 服从正态分布 ,则 ,
其中 , , 为均值, 为标准差.
一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.设 为虚数单位,则复数 等于
A. B. C. D.
2.平面向量 , ,若 ,则 等于
A. B. C. D.
3.下列四个函数中,在闭区间 上单调递增的函数是
A. B. C. D.
4.如图1,已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸,
则该墨水瓶的容积为(瓶壁厚度忽略不计)
A. B.
C. D.
5.若实数 , 满足约束条件 ,
则 的取值范围是
A. B.
C. D.
6.如图2,在执行程序框图所示的算法时,若输入
, , , 的值依次是 , , , ,
则输出 的值为
A. B.
C. D.
7.从 , , , , , 这六个数字中任取五个,
组成五位数,则不同的五位数共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.设 是直角坐标平面上的任意点集,定义 .若 ,则称点集 “关于运算*对称”.
给定点集 , , ,
其中“关于运算 * 对称”的点集个数为
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题两部分.
(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.不等式 的解集为 .
10.已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,
则 .
11.已知双曲线的中心在原点,焦点在 轴上,若其渐近线与抛物线 的准线围成的三角形面积为 ,则此双曲线的离心率等于 .
12.设等差数列 的前 项和为 ,已知 , ,则 .
13.已知△ 的内角 、 、 所对的边为 、 、 ,则“ ”是“ ”
的 条件.(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种).
(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分.
14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,已知直线 : ( 为参数)与曲线 : ( 为参数)相交于 、 两点,则 _________.
15.(几何证明选讲选做题)如图3, 、 是⊙ 的两条切线,切点分别为 、 .若 , ,则⊙ 的半径为 .
三、解答题:本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
设函数 (其中 , ).已知 .
(1)求函数 的解析式;
(2)若角 满足 ,且 ,求角 的值.
17.(本小题满分12分)
深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策.根据规定,每年发放10万个小汽车名额,其中电动小汽车占20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半.政策推出后,某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查,结果如下表所示:
申请意向
年龄 摇号 竞价(人数) 合计
电动小汽车(人数) 非电动小汽车(人数)
30岁以下
(含30岁) 50 100 50 200
30至50岁
(含50岁) 50 150 300 500
50岁以上 100 150 50 300
合计 200 400 400 1000
(1)采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人,求其中各种意向人数;
(2)在(1)中选出的10个人中随机抽取4人,求其中恰有2人有竞价申请意向的概率;
(3)用样本估计总体,在全体市民中任意选取4人,其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 ,求 的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图4,已知三棱锥 的三条侧棱 , , 两两垂直,△ 为等边三角形, 为△ 内部一点,点 在 的延长线上,且 .
(1)证明: ;
(2)证明:平面 平面 ;
(3)若 , ,求二面角 的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设数列 的前 项和为 ,满足 , ,且 成等比数列.
(1)求 , , 的值;
(2)求数列 的通项公式;
(3)证明:对一切正整数 ,有 … .
20.(本小题满分14分)
已知平面上的动点 与点 连线的斜率为 ,线段 的中点与原点连线的斜率为 , ( ),动点 的轨迹为 .
(1)求曲线 的方程;
(2)是否存在同时满足以下条件的圆:①以曲线 的弦 为直径;
②过点 ;③直径 .若存在,指出共有几个;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知函数 ,对任意的 ,满足 ,
其中 为常数.
(1)若 的图像在 处切线过点 ,求 的值;
(2)已知 ,求证: ;
(3)当 存在三个不同的零点时,求 的取值范围.
点击下载:广东省深圳市2015年高三第二次调研考试 数学理