2015届（安徽省）“江淮十校”高三4月联考
数学（理科）
一，选择题
1，在复平面内，复数 （i是虚数单位）对应的点位于
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2，集合A={0,2，a},B={a2},若A∪B=A，则a的值有
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3， 的展开式中x6y2项的系数是
A.28 B. 84 C. -28 D. -84
4，已知α、β表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“α//β”是“m//β”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不充要条件
5，圆x2+y2=4被直线 截得的弦长为
A. B. C.3 D.2
6，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.
B. C. D.
7，在等差数列{an}中a1=-2015，其前n项和为Sn，若2S6-3S4=24，则S2015=
A.-2014 B. 2014 C. 2015 D.-2015
8，定义在R上的函数f（x）满足f（x）= ，则f（2015）的值为
A.-1 B. 0 C. 1 D.2
9，F1、F2分别是椭圆 的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF2，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
10，我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1、一个2、两个3、两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为
A. B. C. D.
二、填空题（25分）
11，已知实数x、y满足 ，则z=x-3y的最大值为
12，在极坐标系中，已知点P（2， ），Q为曲线ρ=cosθ上任意一点，则|PQ|的最小值为
13，已知a= ,b= ,c= ,执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
14，已知O为△ABC的外心，AB=2， AC=4，cos∠BAC= .若 ，则x+y=
15.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，下列结论正确序号有
①若O为重心，则 ;
②若I为内心，则
③若O为外心，则
④若H为垂心，则
⑤若O为外心，H为垂心，则
三，解答题
16，（12分）
已知向量a=(cosx,2cosx),b=( cosx,-cosx),函数f(x)=a•b
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（II）在△ABC中，若∠A满足 ，且△ABC的面积为8，求△ABC周长的最小值。
17，（12分）
已知函数f(x)=xex,g(x)=x2-x-a,a∈R。
（I）求函数f(x)的单调区间；
（II）若f(x)+g(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围.
18，（12分）
一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，如下左图，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF，如下右图
（I）求证：AE//BF;
（II）过A、D、F三点作截面，将此多面体 上下两部分，求上下两部分的体积比。
19，（12分）
某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为 ，高一胜高三的概率为 ，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜。
（I） 若高三获得冠军概率为 ，求P。
(II)记高三的得分为X，求X的分布列和期望。
20，（12分）
已知椭圆C： ，点P到两定点A(-1，0).B(1，0)的距离之比为 ，点B到直线PA的距离为1。
（1） 求直线PB的方程；
（II） 求证：直线PB与椭圆C相切；
（III） F1、F2分别为椭圆C的左右焦点，直线PB与椭圆C相切于点M，直线MF2交y轴于点N，求∠MF1N
21，（12分）
已知数列{an}前n项和为Sn，满足2Sn+ n2 = 3an-6,(n∈N*)
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求证： ，(n≥2，n∈N*)
（III）设 ,(n≥2，n∈N*),求证：
理科数学答案
一、选择题
1--5 ACBAD 6—10 BDCAC
二、填空题：
11.-1, 12. , 13. , 14 , 15 ②④⑤
三、解答题：
16.解：(Ⅰ)
＝
∴函数 的最小正周期为π.…………………………………3分
由 得，
，
∴函数 的单调递增区间为 …………6分
(Ⅱ)由 得 ，即 ，
因为A为三角形的内角，所以 .…………………………8分
∴ , …………………………10分
∴ ,
所以 周长的最小值为 .………………………………………12分
17.解：(Ⅰ) ,令 得x=－１……………3分
当x<－１时， ；当x>－１时，
所以函数 的递减区间为（－∞，－１]，递增区间为（－１，＋∞）……6分
(Ⅱ) 恒成立等价于
令 ，则 ……………8分
显然当x>0时， ；当x<0时 ；当x＝0时 .
所以 在（－∞，0）上递减,在（0，＋∞）上递增.……………10分
,∴
的取值范围是（－∞，0].………………………………………12分
18.证明：(Ⅰ)由题意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，
取BE的中点O，连AO、FO、CO、AC,则BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，
∴∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，…………3分
设AB＝2 ,则AO＝FO＝CO＝ ,AC= ,
在△AOC中， ，
在△FOC中，
∴∠AOC+∠FOC＝ ,即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补，…………………5分
所以ABFE四点共面，又AB=BF=FE=EA，故AE∥BF.………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，四边形ABFE四边形CDEF都是菱形，
所以过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD，
连BD、FD则 ＝
所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为１:２.…………………………………12分
19.解：(Ⅰ)高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场.
高三胜两场的概率为 ，…………………………………2分
三个队各胜一场的概率为 …………………………4分
所以 + ＝
解得 .…………………………………6分
(Ⅱ)高三的得分X的所有可能取值有０、１、２
P(X=0)= P(X=1)= P(X=２)= ……………………9分
所以X的分布列为
…………………11分
故X的期望 ＝ …………………………12分
20.解：(Ⅰ)过B作PA的垂线，垂足为C，
∣AB∣＝２，∣BC∣＝１知，∠BAC= ……………１分
在△PAB中，由正弦定理得，
……………２分
∵ ∴ ,即直线PB的倾斜角为 或 ，……３分
所以直线PB的方程是y=x-1或y=-x+1.…………４分
(Ⅱ)若PB方程为y=x-1，将y=x-1代入椭圆方程得， ，
整理得， ，解得， ，……………………７分
所以直线y=x－1与椭圆C相切，同理直线y=－x+1与椭圆C也相切.……………８分
(III)设切点坐标 ，由（1）知 ， ，
设 ，其中 ，
又设 ，则 ， ，…………10分
＝ ……………………12分
∴ ,故 ……………………………………………13分
21. 解：(Ⅰ)由 ①得,当n=1时， =7，…………………………１分
当 时， ②,
①－②得
，( )
∴ ，( ).…………………………………3分
又 +2=9，所以数列 是首项为9公比为3的等比数列.
，∴ …………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ＝ ＝ …………………………………5分
易知 时， ，∴
( )…………………7分
= …………………………9分
(III) ＝ ，（ ）…………………………………10分
令 ，（x≥２）
在[２，＋∞）上恒成立，
所以 在[２，＋∞）上单调递减，
∴ ，
令 则得 …………………………………12分
即 ，
∴ （ ）.
故 ………………………14分
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