闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷（理科）
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有23道试题．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．已知集合 ， ，则 ．
2．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 ．
3．函数 ,若 ，则 ．
4．计算 ．
5．设 ,则 .
6．已知 ， ，则 ．
7. 若圆锥的侧面积为 ，底面面积为 ，则该圆锥的体积为 .
8．已知集合 ，在 中可重复的依次取出三个数 ，则“以 为边长恰好构成三角形”的概率是 ．
9．已知等边 的边长为3， 是 的外接圆上的动点，则 的最大值为 ．
10．函数 取最小值时 的取值范围是 ．
11．已知函数 , ,记函数 ，则函数 所有零点的和为 .
12．已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，则 的最大值为 .
13．在 中，记角 、 、 所对边的边长分别为 、 、 ，设 是 的面积，若 ，则下列结论中：
① ； ② ；
③ ； ④ 是钝角三角形．
其中正确结论的序号是 ．
14．已知数列 满足：对任意 均有 （ 为常数， 且 ），若 ，则 所有可能值的集合为 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．已知圆 和直线 ，则 是圆 与直线 相切的（ ）
(A)充要条件. (B)充分不必要条件.
(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.
16． 展开式中各项系数的和为 ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
17．已知 是定义在 上的函数，下列命题正确的是 ( )
(A)若 在 上的图像是一条连续不断的曲线，且在 内有零点，则有 .
(B)若 在 上的图像是一条连续不断的曲线，且有 ，则其在 内没有零点.
(C)若 在 上的图像是一条连续不断的曲线，且有 ，则其在 内有零点.
(D)若 在 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又 成立，则其在 内有且只有一个零点.
18．数列 是公差不为零的等差数列，其前 项和为 ，若记数据 的方差为 ，数据 的方差为 ， .则 ( )
(A) . (B) . (C) . (D) 的值与公差 的大小有关.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱 中， ，直线 与平面 所成角的大小为 ．求三棱锥 的体积.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为 万元，且 ，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为 (万元). （注：利润 销售收入 成本）
(1)写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；
(2)为了让年利润 不低于2760万元，求年产量 的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
椭圆 的左右焦点分别为 ，上顶点为 ，已知椭圆 过点 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆上两点 关于点 对称，求 ．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．
已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若存在 满足 ，求实数 的取值范围；
（3）对任意的 ，是否存在唯一的 ，使 成立，请说明理由.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．
已知数列 为等差数列， ，其前 和为 ，数列 为等比数列，
且 对任意的 恒成立.
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）是否存在 ，使得 成立，若存在，求出所有满足条件
的 ；若不存在，说明理由.
（3）是否存在非零整数 ，使不等式
对一切 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准
一. 填空题 1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5．（理） ，（文） ； 6． ； 7． ；8．(理) ，(文) ；9．(理) ，(文) ； 10．(理) ，(文) ； 11．（理） ，(文) ；12． ； 13．(文理) ④；
14．（理） ，（文） 或 或
二. 选择题 15． B； 16． B； 17．D； 18． A．
三. 解答题
19．（文）
………………………………4分
， 是直线 与直线 所成的角 ……6分
………………………10分
所以直线 与 所成的角为 ………………12分
19．（理）法一： ，
平面 ，
是直线 与平面 所成的角．…………………4分
设
，
， ……………8分
所以 ．…12分
法二：如图，建立空间直角坐标系，设 ． 得点 ，
， ． 则 ，
平面 的法向量为 ． …………………4分
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，……………8分
所以 ．…12分
20． (1) ……6分
(2) 解 ………………12分
得 时， 所以 .
答：为了让年利润 不低于2760万元，年产量 . …………………14分
21．（文）（1） ………………3分
将点 的坐标代入方程 得 ………6分
所以椭圆 的方程为 ．…………………………………7分
（2）法一：设点 的坐标分别为
则 ，且 ………9分
由 得：
………………12分
所以直线 的方程为 ………………14分
法二：设点 的坐标分别为
设直线 的方程为 ………………9分
将 代入
得
由 得 ………………12分
所以直线 的方程为 ………………14分
21．（理）(1)因为椭圆 过点 ,所以 ,解得 ……3分
又以 为直径的圆恰好过右焦点 ，所以
又
得 ， ，所以
而 ，所以 得 ………………6分
故椭圆 的方程是 ． ………………………………7分
（2）法一：设点 的坐标分别为 ，
则 ，且 ………9分
由 得：
所以 所在直线的方程为 ………………11分
将 代入 得
………14分
法二：设点 的坐标分别为 ，………9分
则
两等式相减得 ………………11分
将 代入 得
．……14分
22．（1）（文理）
，……………2分
函数 的最小正周期 ………………………………4分
（2）当 时， ， 6分
…………………8分
（理）存在 满足 的实数 的取值范围为 .……10分
（文）存在 满足 的实数 的取值范围为 .……10分
（3）（理）存在唯一的 ，使 成立. ………………12分
（文理）当 时， ，
………………14分
设 ，则 ，由
得
所以 的集合为
∵
∴ 在 上存在唯一的值 使 成立. 16分
23．（文） （1）法1：由 得
所以 ，所以
故 ……………………………2分
因为 ①
对任意的 恒成立
则 （ ） ②
① ②得
又 ，也符合上式，所以
所以 ……………………………4分
法2：由于 为等差数列，令 ，
又 ，
所以
所以 故 ………………2分
因为 ①
对任意的 恒成立
则 （ ） ②
① ②得
又 ，也符合上式，所以
所以 ……………………………4分
（2）假设存在 满足条件，则
化简得 ……………………………6分
由 得 为奇数，所以 为奇数，故
得 ……………………8分
故
所以存在满足题设的正整数 ． ……………………………10分
（3）易得 ，则 ， ……………………12分
下面考察数列 的单调性，
因为 ……………14分
所以 时， ，又 ，
……………………………16分
因为 中的元素个数为5，所以不等式 解的个数为5，
故 的取值范围是 . ……………………………18分
23．（理） （1）法1：设数列 的公差为 ，数列 的公比为 。
因为
令 分别得 ， ， ，又
所以 即 …………………2分
得 或
经检验 符合题意， 不合题意，舍去。
所以 . ……………………………4分
法2：因为 ①
对任意的 恒成立
则 （ ） ②
① ②得
又 ，也符合上式，所以 ………………2分
由于 为等差数列，令 ，则 ，
因 为等比数列，则 （为常数）
即 恒成立
所以 ，又 ，所以 ，故 ．………4分 （2）假设存在 满足条件，则
化简得 ……………………………6分
由 得 为奇数，所以 为奇数，故
得 ……………………8分
故 ，这与 矛盾，所以不存在满足题设的正整数 ．……10分
（3）由 ，得 ，
设 ，则不等式等价于 .
∵ ，∴ ，数列 单调递增. ……………………………12分
假设存在这样的实数 ，使得不等式 对一切 都成立，则
① 当 为奇数时，得 ； ……………………………14分
② 当 为偶数时，得 ，即 ．……………16分
综上， ，由 是非零整数，知存在 满足条件．……18分
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