张掖市高三年级2015年4月诊断考试
数学（文科）试卷
命题人：临泽一中 张自鹤 审题人：临泽一中 魏正清 终审人：山丹一中 钟丽娟
第I卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集是实数集R， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知命题 ，命题 ，则( )
A.命题 是假命题 B.命题 是真命题
C.命题 是真命题 D.命题 是假命题
4.某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5.设变量 , 满足约束条件 则 的最大值为（ ）
A.21 B.15 C.-3 D.-15
6.已知实数1， m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ）
A． B． C. 或 D． 或3
7.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A. B.
C. D.
8.设 的内角 所对边的长分别为 ,若 ,则角 =（ ）
A． B． C． D．
9.直线 被圆 所截得的最短弦长等于( )
A. B. C. D.
10.将函数 图像上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
11.已知双曲线 的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且 则点M到x轴的距离为( )
A． B． C． D．
12.已知 函数则方程 恰有两个不同的实根时，实数 的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（ ）
A. B. C. D.
第II卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知 为第二象限角， ，则 =______ _____.
14.在 中， ， ， ,则 .
15.已知抛物线 ，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为_________.
16.已知函数 且 ，其中 为奇函数, 为偶函数，若不等式 对任意 恒成立,则实数 的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知等差数列 中 ，其前n项和 。
（I）求p的值及 ；
（Ⅱ）在等比数列 中， ，若等比数列 的前n项和为 .求证：数列 为等比数列.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中 中，底面 为菱形， ， 为 的中点.
（I）若 ，求证：平面 平面 ；
（II）若平面 平面 ， ，点 在线段 上， 且 ,求四棱锥 与三棱锥 的体积之比.
19.（本小题满分12分）
为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；
……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，
且第二组的频数为8.
（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C: 的离心率为 ，且过点（1， ）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆 相切的直线 交椭圆于A,B两点，M为圆 上的动点，求 面积的最大值，及取得最大值时的直线L的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数， ．
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线的斜率为 ,求切线方程；
（Ⅱ）试求 的单调区间并求出当 时 的极小值.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》
如图： 是⊙ 的直径， 是弧 的中点，
，垂足为 ， 交 于点 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，⊙ 的半径为6，求 的长.
23.（本小题满分10分）《选修4—4：参数方程选讲》
在平面直角坐标系 中,以 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知 点的极坐标为 , 曲线 的极坐标方程为 .
(1)写出点 的直角坐标及曲线 的普通方程；
(2)若 为 上的动点,求 中点 到直线 ( 为参数)距离的最大值.
24.（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》
已知函数
（1） 若 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 ，求证: .
张掖市高三年级2015年4月诊断考试
文科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B B C A D C A D B
二、填空题： 13. 14. 15. 16.
三、解答题
17．解析：（I）由题意可得:
---------------------- 3分
， 公差 ---------------------- 5分
由此可得： ----------------------6分
（Ⅱ）由题意可得:
联立方程组解得： ， --------------------8分
数列 是以 为首项，3为公比的等比数列。
------------------10分
又因为 ，
是以 为首项，3为公比的等比数列。 ----------------12分
18．解析：（Ⅰ） ， 为 的中点，
， -----------------------1分
又 底面 为菱形， ，
设 则 ，从而
----------------4分
----------------------------5分
又 平面 ，又 平面 ,
平面 平面 ; ----------------------------6分
（Ⅱ）过点 作 交PB于点H. --------------------------7分
平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ， 平面 ,
--------8分
,又
,又 ,
平面 ,又 , ，
--------------------------10分
,
---------------------------12分
19．解析：（1）设前3组的频率依次为 ，则由题意可得:
,由此得： …………………1分
第二组的频率为0.16 …………………2分
第二组的频数为8， 抽取的学生总人数为 人 …………………3分
由此可估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数 人。……………4分
设所求中位数为
由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06、016、0.38
则 0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得m=15.74
答: 估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数为16人；所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒。 …………………6分
（2）记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A.
由(1)可知从第一组抽取的人数 人，不妨记为a,b.c
从第五组抽取的人数 人，不妨记为1,2,3,4， ……………9分
则从第一、五组中随机取出两个成绩有:ab,ac.a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b3,c1,c2,c3,
c4,12,13,14,23,24,34这21种可能；
其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组，共有12种。
两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为 . ……………12分
20．解析：（1）由题意可得： ——————————————2分
————————————4分
（2）①当k不存在时， ——————5分
②当k存在时，设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)
——————————7分
—————————8分
———————10分
，
, ————————————12分
21．解析：（Ⅰ） ，………1分
解得: …………………2分
切点坐标为
切线方程为：
即所求切线方程为: …………………4分
（Ⅱ）(1)当 时， ，
当 时， ；当 时，
的递减区间为 ，递增区间为 .…………………6分
(2) 当 时，
令 解得：
当 或 时，
当 时，
的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ， …………………8分
的极小值 …………………9分
（3）当 时，令 解得：
①若 ，当 或 时， ；
当 时， .
的单调递减区间为 ， ；
单调递增区间为 . …………………10分
②若 ， ，
的单调递减区间为 . …………………11分
③若 ，当 或 时， ；
当 时， .
的单调递减区间为 ， ；
单调递增区间为 . …………………12分
22. 解析：（Ⅰ）证法一:连结CO交BD于点M，如图 …………1分
∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD
又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO ………… ………………2分
∴∠OCE=∠OBM ……………………………3分
又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC …………………………4分
∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF …………5分
证法二：延长CE 交圆O于点N，连结BN，如图………1分
∵AB是直径且CN⊥AB于点E.
∴∠NCB=∠CNB……………………………………2分
又∵C为弧BD的中点 ∴∠CBD=∠CNB……3分
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF…………………………………4分
∴CF=BF…………………………………………………………5分
（Ⅱ）∵O,M分别为AB,BD的中点
∴ ……………………7分
在Rt△COE中， …………………………………9分
∴在Rt△CEB中， ………………………………10分
23. 解析：(1) ，
点 的直角坐标为 ………………………………………2分
由 得： 即
曲线 的普通方程为: ……………………………………5分
(2)由 可得直线 的普通方程为 ………………6分
由曲线 的普通方程: 可设点
则点 坐标为 ………………………………………7分
点 到直线 的距离 ………8分
当 =-1时， 取得最大值
点 到直线 距离的最大值为 。 ………………………………………10分
24. 解析：(1) ……………………3分
……………………5分
(2) 证明：
…………9分
……………………10分
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