重庆市高2015级学生学业调研抽测试卷（第二次）
理科数学
数学试题卷（理科）共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用 毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
特别提醒：
14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.
1．已知全集 ，集合 , ，则 =
A． B． C． D．
2. 由观测的样本数据算得变量 与 满足线性回归方程 ，已知样本平均数 ，则样本平均数 的值为
A. B. C. D.
3．已知向量 ， ，且向量 与 平行，则实数 的值为
A. B. C. D.
4．已知命题 ：若 ，则 ； ：“ ”是“ ”的必要不充分条件．
则下列命题是真命题的是
A． B．
C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 取最大值时， 的值为
A. B. C. D.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A． B． C． D．
7．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为 ，则判断框中应填入的条件为
A． B．
C． D．
8．某天连续有 节课，其中语文、英语、物理、化学、
生物 科各 节，数学 节．在排课时，要求生物课
不排第 节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，
则不同排法的种数是
A． B．
C． D．
9．设 是双曲线 的右焦点， 为坐标原点，点 分别在双曲线的两条渐近线上， 轴， ∥ ， ，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ， ， ，设 的面积为 ， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上．
11．复数 的虚部为 .
12．圆 上的点到直线 的最大距离为 ．
13．设常数 ，实数 满足 ，若 的最大值为 ，则 的值为 ．
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
14．如图，已知切线 切圆于点 ，割线 分别交圆于点 ，点 在线段 上，且 ， ， ， ，则线段 的长为__________.
15．在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 的方程为 （ 为参数）,直线 的方程为 （ 为实数） ，若直线 交曲线 于 ， 两点， 为曲线 的焦点，则 的值为_________.
16．设函数 ，若关于 的不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是____________.
三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
设函数 ．
(Ⅰ) 求函数 的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ) 若 ，且 ，求 的值．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
某居民小区有 三个相互独立的消防通道，通道 在任意时刻畅通的概率分
别为 ．
(Ⅰ) 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率；
(Ⅱ) 在对消防通道 的三次相互独立的检查中，记畅通的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ．
19．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， ，点 在棱 上，且 .
(Ⅰ) 求 的长；
(Ⅱ) 求二面角 的正弦值.
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
已知 ，函数 ．
(Ⅰ) 讨论函数 的单调性；
(Ⅱ) 当函数 存在极值时，设所有极值之和为 ，求 的取值范围．
21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如图所示，已知椭圆 的方程为 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，直线 与椭圆 交于不同的 两点．
(Ⅰ) 若 ， ，点 在直线 上，
求 的最小值；
(Ⅱ) 若以线段 为直径的圆经过点 ，且原点
到直线 的距离为 ．
(1)求直线 的方程；
(2)在椭圆 上求点 的坐标，使得 的面积最大．
22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ，
( )．
(Ⅰ) 求数列 的通项公式；
(Ⅱ) 设 ， ，求证： ．
高2015届学生学业调研抽测(第二次)
数学（理科）参考答案及评分意见
一、选择题：
二、填空题：
三、解答题：
17、解：(Ⅰ) …………… 2分
， …………… 4分
的最小正周期为 ． …………… 5分
由 ，得 ，
的单调递增区间为 ． ………… 7分
(Ⅱ) ， ． …… 8分
由 知 ， ． ……10分
…… 12分
． …………… 13分
18、解:(Ⅰ)由已知通道 畅通的概率分别为 ，
设“至少有两个消防通道畅通”为事件 ，
………… 4分
． … 6分
(Ⅱ) 的所有可能为 ，
， ，
， ． … 10分
的分布列为：
…… 11分
数学期望 ． …13分
19、解：(Ⅰ) 如图，以 分别为 轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则 ．
… 2分
过 作 于 ，由已知，得 ∥ ，
设 ，则 ． … 3分
．
， ， ， ……… 5分
． …………………………………… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ，设平面 的法向量为 ，
则 ． ，取 ，得 ． …………… 9分
易知 是平面 的法向量， …………… 10分
， …………… 12分
则二面角 的正弦值为 ． ……………13分
20、解：(Ⅰ) 的定义域为 ， ． ……… 2分
方程 的判别式 ．
（1）若 ，即 时，在 的定义域 内，有 ，
在定义域 上为增函数； …………… 3分
（2）若 ，即 时，方程 有两个不同的实数根为：
，且 ．
在 和 上为增函数； ………… 5分
在 上为减函数． …………… 6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，当函数 存在极值时， ，
且 在 处取得极值． …………… 8分
， 的所有极值之和为：
.
…………………………………………………………………………………… 10分
当 时， 为减函数， 的取值范围是 ．
…………………………………………………………………………………… 12分
21、解：(Ⅰ) 由椭圆方程可得，焦点坐标为 ， ． ……… 1分
当 ， 时，直线 的方程为 ． ………2分
则可得 关于直线 的对称点为 ． ………3分
的最小值为： ． … 4分
(Ⅱ)(1)设点 的坐标分别为 ．
由原点 到直线 的距离为 ，得 ，即 ．①
…………………………………………………………………………………… 5分
将 代入 ，得 ，
，
． ………………… 6分
由已知，得 ，即 ． ………… 7分
，
即 ，
，
化简，得 ．② ………………… 8分
由①②，得 ，即 ， ． ，
，满足 ． 的方程为 ． … 9分
（2）由（1）可知， 是定值，当椭圆 上的点 使得 的面积最大时，点 到直线 的距离为最大，即点 为在直线 的下方平行于 且与椭圆 相切的切点．设平行于 且与椭圆 相切的切线方程为 ，由 得
， ， ，（ 舍去），
………………………………………………………………………………………… 11分
从而，可得 的坐标为 ． ………………… 12分
22、解：(Ⅰ) ， ，
，即 ， …………… 2分
是以首项为 ，公比为 的等比数列． ………… 3分
，即 ． ………… 4分
(Ⅱ) ，
，
．
两式相减，得
，
． ………… 6分
， ，
， ．
① 先证明： ．
方法一：
，
， …………… 8分
，即 ． ………… 9分
方法二：用数学归纳法证明如下：
（1）当 时，左边 ，右边 ，
， 左边 右边，即不等式成立． …………… 7分
（2）假设当 时，不等式成立，即 ，
那么，当 时，
左边
右边， 左边 右边．
当 时，不等式也成立． ………… 9分
对 都成立．
② 再证明： ，即证明 ．
设函数 ，则导函数 ．
令 ，得 ，
在 上有 ，即 在 上单调递减．
，即 在 上恒成立． ……… 11分
又 ，
，即 ． ………… 12分
综上可得： ．
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