惠州市2015届高三模拟考试
数 学 试 题 (文科) 2015.04
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回。
参考公式:锥体的体积公式 ,其中 为锥体的底面积, 为锥体的高.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.若函数 是函数 的反函数,则 ( )
A. B. C. D.
3.已知点 , 和向量a ,若a// ,则实数 的值为 ( )
A. B. C. D.
4.已知数列 为等差数列,且 , ,则 ( )
A.45 B.43 C. 40 D.42
5.下列函数中周期为 且为偶函数的是 ( )
A. B.
C. D.
6.已知某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为 ( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆与双曲线 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和
为 ,那么椭圆的离心率等于 ( )
A. B. C. D. [
8.执行如图的程序框图,输出的 = ( )
A.30 B.25 C.20 D.12
9.若变量 , 满足约束条件 ,
则 的最大值等于 ( )
A. B. C.11 D.10
10. 若直角坐标平面内的两个不同点 、 满足条件:① 、 都在函数 的图像上;② 、 关于原点对称,则称点对 是函数 的一对“友好点对”(注:点
对 与 看作同一对“友好点对”).已知函数 = ,则此函
数的“友好点对”有 ( ) 对.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题:本大题共5小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分20分.
(一)必做题:第11至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
11.计算: = .( 为虚数单位)
12.函数 在 处取得极小值.
13.设 ,若 是 与 的等比中项,则 的最小值为 .
(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分.
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 的圆心到直线 的
距离是 .
15.(几何证明选做题)如图, 是圆 的直径,点 在圆 上,
延长 到 使 ,过 作圆 的切线交 于 .
若 , ,则 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数 的最小正周期为 ,且 .
(1) 求 的表达式;
(2) 设 , , ,求 的值.
17.(本小题满分12分)
某班 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 秒与 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组 ,第二组 ,…,第五组 ,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1) 根据频率分布直方图,估计这 名学生百米测试成绩的平均值;
(2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 的概率.
18.(本小题满分14分)
如图所示,在所有棱长都为 的三棱柱 中,侧棱 , 点为棱 的中点.
(1)求证: ∥平面 ;
(2)求四棱锥 的体积.
19.(本小题满分14分)
若正项数列 的前 项和为 ,首项 ,点 ( )在曲线 上.源:
(1)求数列 的通项公式 ;
(2)设 , 表示数列 的前 项和,求证: .
20.(本小题满分14分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在 轴上,离心率为 ,且经过点 . 直线 交椭圆于不同的两点 .
(1)求椭圆的方程;
(2)求 的取值范围;
(3)若直线 不过点 ,求证:直线 与 轴围成一个等腰三角形.
21.(本小题满分14分)
已知 ,函数 .
(1)求 的单调区间;
(2)证明:当 时, .
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( 文科数学)参考答案和评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D B C B A D B
1.B 【解析】试题分析:由题根据集合 ,不难求得A,B的交集;由题
2.A 【解析】试题分析:根据互为反函数的两个函数间的关系,原函数中 时, ,
故反函数中当 时 ,即
3.C 【解析】试题分析:根据A、B两点的坐标可得 =(3,1),∵ ∥ ,∴ ,
解得
4.D 【解析】试题分析: ,
5.B 【解析】试题分析:由于周期为 ,故排除C,D;又由于是偶函数,而选项A,函数
,故排除A,又选项B, 是偶函数
6.C 解析:由三视图易知,该几何体是底面积为 ,高为3的三棱锥,由锥体的体积公式得
7.B 【解析】 , ,
8.A 【解析】由题意可知,第一次循环S=5,n=2,T=2,不满足T>S;第二次循环,S=10,n=4,T=2+4=6,
不满足T>S;第三次循环,S=15,n=6,T=12,不满足T>S;第四次循环,S=20,n=8,T=20,
不满足T>S;第五次循环,S=25,n=10,T=30,满足T>S;结束,此时T=30,故选A
9.D 【解析】作出不等式组对应的平面图象如下图的阴影部分, 表示斜率为 的直线系, 表示直线在 轴上的截距,由图象可知当直线过 点时 取得最大值,最大值为
10.B 【解析】根据题意可知只须作出函数 的图象关于原点对称的图象,确定它与函数
交点个数即可,由图象可知,只有一个交点.
二.填空题
11. 12. 13. 14. 15.
11.【解析】 因为 .
12.【解析】 由 得: ,列表得:
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以在 处取得极小值.
13.【解析】 由题意知 ,又 ,
所以 ,所以 的最小值为 .
14.【解析】 如下图: .
15. 【解析】 如下图: ,得 .
三.解答题
16. (本小题满分12分)
解:(1)依题意得 ,∴ , ……………………2分
由 ,得 ,即 ,∴ , ……………………4分
∴ ……………………5分
(2) 由 ,得 ,
即 ,∴ , ……………………6分
又∵ ,∴ , ……………………7分
由 ,得 ,
即 ,∴ , ……………………9分
又∵ ,∴ , ……………………10分
……………………12分
17.解:(Ⅰ)由频率分布直方图知,百米测试成绩的平均值为
……………………… 5分
(Ⅱ)由频率分布直方图知,成绩在 的人数为 人,设为 、 、 ;
成绩在 的人数为 人,设为 、 、 、 ………………………6分
若 时,有 种情况; ……………………7分
若 时,有 种情况; ……………………8分
若 分别在 和 内时,
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
z zA zB zC zD
共有 种情况. ……………………10分
所以基本事件总数为 种,事件“ ”所包含的基本事件个数有 种。
∴ ( ) 。 ………………………12分
18、(本题满分14分)
解:(1)连结 ,设 与 交于点 ,…………1分
则点 是 的中点,连结 ,…………2分
因为 点为 的中点,
所以 是 的中位线,
所以 ∥ , ………………4分
因为 平面 , 面 ,………5分
所以 ∥平面 . ………………6分
(2)取线段 中点 ,连结 , ………………7分
∵ ,点 为线段 中点,
∴ . ………………9分
又 平面
即 平面 , 平面
∴ , ………………11分
∵ ,
∴ 平面 ,则 是四棱锥 的高 ………………12分
. ………………14分
19(本小题满分14分)
解:(1)因为点 在曲线 上,所以 . …………1分
由 得 . ……………3分
且
所以数列 是以 为首项,1为公差的等差数列 ……………4分
所以 , 即 ……………5分
当 时, ……………6分
当 时, 也成立 ……………7分
所以 , ……………8分
(2) 因为 ,所以 , ……………9分
……………12分
……………14分
20.(本小题满分14分) (1) (2) (3)见解析
(1) 由已知椭圆焦点在 轴上可设椭圆的方程为 ,( )
因为 ,所以 , ①
又因为过点 ,所以 , ②
联立①②解得 ,故椭圆方程为 . ………………4分
(2) 将 代入 并整理得 ,
因为直线与椭圆有两个交点,
所以 ,解得 . ………………8分
(3) 设直线 的斜率分别为 和 ,只要证明 即可.
设 , ,
则 . ………………10分
所以
所以 ,所以直线 与 轴围成一个等腰三角形. ………………14分
21.(本小题满分14分)
解:(1)由题意得 ………………1分
当 时, 恒成立,此时 的单调递增区间为 ………………2分
当 时, , ………………4分
此时函数 的单调递增区间为 (-∞, ] ,[ ,+∞). ………………5分
的单调递减区间为 [ , ]. ………………6分
(2)证明:由于0≤x≤1,故
当a≤2时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. ………………8分
当a>2时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. ……10分
设g(x)=2x3-2x+1, ,
则g′(x)=6x2-2=6(x- )(x+ ), ………………11分
x 0 (0, )
( ,1)
1
g′(x) - 0 +
g(x) 1 减 极小值 增 1
于是
………………12分
所以,g(x)min=g( )=1- >0
∴ 当 时, ………………13分
故 .
∴ 当 时, ………………14分
(注:此问还可以按分类讨论的思想,令 ,
证明当 时, 成立,请参照给分)
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