南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺（六）
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出2份作业，则每个学生拿的都不是自己作业的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
6．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项
等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那
么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线C： 焦点为F，点P是C上一点，若△POF
的面积为2，则 （ ）
A． B． C． D．4
8．一个体积为 的四棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该棱锥
的左视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的图象大致为（ ）
10．某人在x天观察天气，共测得下列数据：①上午或下午共下雨7次；②有5个下午晴；③有6个上午晴；④ 当下午下雨时上午晴.则观察的x天数为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．不能确定
11．如图是函数 图象的一部分，对不同的 ，
若 ，有 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列 满足 ， 是其前n项和，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
13．设 ，其中实数 满足 ，若 的最大为 ，则 的最小值为 ．
14．设数列 满足 ，点 对任意的 ，都有向量 ，则数列
的前 项和 .
15．A、B、C三点在同一球面上， ， 2，且球心O到平面ABC的距离为1，
则此球O的体积为 ．
16. 设函数 其中 ，若动直线 与函数 的图像
有三个交点，它们的横坐标分别为 ，则 的范围为 ．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（Ⅰ）求证： 成等差数列；
（Ⅱ）若 求 .
18．(本小题满分12分)
为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克），将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为 ，其中第二小组的频数为12．
（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）已知A、a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于
55千克， a的体重不小于 千克．现从该校报考体育专业
的学生中按分层抽样分别抽取小于 千克和不小于 千克
的学生共6名，然后在从这6人中抽取体重小于 千克的
学生2人，体重不小于 千克的学生1人组成3人训练组，
求A在训练组且a不在训练组的概率.
19．(本小题满分12分)
四棱锥P – ABCD中，
平面 ，E为PD中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求证CE // 平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥P – ACE体积．
20．(本小题满分12分)
已知椭圆E： 的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为 ．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过E的右焦点作直线l与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线 分别交于C、D两点，记△ACD与△AMN的面积分别为 、 ，且 ，求直线l的方程．
21．(本小题满分12分)
函数 ，若曲线 在点 处的切线与直线 垂直（其中 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）若 在 上存在极值，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证：当 时， .
请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于点H．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若 ，求△BDF外接圆的半径．
23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的 轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为 、 （ ），曲线 的参数方程为 为参数 ．
（Ⅰ）若 ，求 的面积；
（Ⅱ）设 为 上任意一点，且点 到直线 的最小值距离为 ，求 的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
2015年高考模拟试题
文科数学参考答案
（2）∵ ∴ ………8分
又 ………10分
由（1）得： ∴
∴ 即 ………12分
18．解析：（1）由图知第四组的频率为 ，
第五组的频率为. ………………………………………………………3分
又有条件知前三组的频率分别为 ，所以 …………………5分
（2）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为 体重不小于70千克的学生2人，记为 ………………………6分
从中抽取满足条件的所有结果有： ，
共12种………………10分
所求事件的概率为 ………………………………………………………………12分
19．解析：（1）延长DC、AB交于N，连接PN
为ND中点
为PD中点，
……………………………………6分
（2）
E为PD中点
到平面距离为
……………………………………12分
20．解析：（1）设 ，则 ……………………………………1分
，依题意有
又 ，所以解得
故 的方程为 ……………………………………………………………………5分
（2）设直线MN的方程为 ，代入E的方程得 ……6分
设 ，则 …………………………7分
直线MA的方程为 ，把 代入，
得 ，同理 …………………………………………………8分
所以
所以 …………………………………………………………………9分
…………………………………………………………10分
，所以 ，解得 …………………………………11分
故直线l的方程为 或 ……………………………………………12分
21. 解析：（1）∵
由已知 ∴ 得 ………2分
∴
当 为增函数；当 时， ， 为减函数．
∴ 是函数 的极大值点 ………4分
又 在 上存在极值
∴ 即
故实数 的取值范围是 ………5分
（2）
即为 ………6分
令 ，则
再令 则
∵ ∴ ∴ 在 上是增函数
∴ ∴
∴ 在 上是增函数
∴ 时， 故 ………9分
令 ，则
∵ ∴ ∴ 即 上是减函数
∴ 时， ………11分
所以 ， 即 ………12分
22．解析：（1）因为 为圆 的一条直径，所以 …………………………………2分
又 ，所以 四点共圆…………………………………………………4分
(2)因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得 ，代入解得AD=4………………………………………5分
所以 ……………………………………………6分
又△AFB∽△ADH，所以 ………………………………………………………7分
由此得 ………………………………………………………………8分
连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径， ……9分
故△BDF的外接圆半径为 …………………………………………………………10分
23．解析：（1） …………………………………………………4分
（2）依题意知圆心到直线 的距离为3…………………………………………………5分
当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 ，
显然，符合题意，此时 ……………………………………………………………6分
当直线 存在斜率时，设直线 的方程为 ………………………………7分
则圆心到直线AB的距离 ………………………………………………………8分
依题意有 ，无解…………………………………………………………………9分
故 …………………………………………………………………………………10分
24．解析：（1）当 时， ……………………3分
根据图易得 的解集为 ……………………5分
（2）令 ，
由 对任意 恒成立等价于 对
任意 恒成立………6分
由（1）知 的最小值为 ，所以 ………………………………8分
故实数a的取值范围为 ……………………………………………………10分
法（2） 易知 ，只需 且 ，解得 ．
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