杨浦区2014学年度第二学期高三年级学业质量调研
数学学科试卷（理科）2015.4
考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上
2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分
1.函数 的定义域是 .
2.若集合 ，则 的元素个数为 .
3.若 ，则 的值是 .
4. 的展开式中的常数项的值是 .
5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为： ，则这组数据的方差为 .
6.对数不等式 的解集是 ，则实数 的值为 .
7.极坐标方程 所表示的曲线围成的图形面积为 .
8.如图，根据该程序框图，若输出的 为 ，则输入的 的值为 .
9.若正数 满足 ，则 的取值范围是 .
10.已知 是不平行的向量，设 ，则 与 共线的充要条件是实数 等于 .
11.已知方程 的两根为 ，
若 ，则实数 的值为 .
12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .
13.已知 ，在坐标平面中有斜率为 的直线 与圆 相切，且 交 轴的正半轴于点 ，交 轴于点 ，则 的值为 .
14.对于自然数 的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如 的交替和是 ；则集合 的所有非空子集的交替和的总和为 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15.“ ”是“函数 只有一个零点”的 （ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16.在复平面中，满足等式 的 所对应点的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线
17.设反比例函数 与二次函数 的图像有且仅有两个不同的公共点 ，且 ，则 （ ）
A.2或 B. 或 C.2或 D. 或
18.如图，设店 是单位圆上的一个定点，动点 从点 出发，
在圆上按逆时针方向旋转一周，点 所旋转过的弧 的长为 ，
弦 的长为 ，则函数 的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
三 .解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
如图，一条东西走向的大江，其河岸 处有人要渡江到对岸 处，江面上有一座大桥 ，已知 在 的西南方向， 在 的南偏西 ， 公里.现有两种渡江方案：
方案一：开车从大桥 渡江到 处，然后再到 处；
方案二：直接坐船从 处渡江到对岸 处.
若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达 处，应选择哪个方案？说明理由.
20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）
在棱长为1的正方体 中，点 是棱 的中点，点 是棱 上的动点.
（1）试确定点 的位置，使得 平面 ;
（2）当 平面 时，求二面角 的大小（结果用反三角函数表示）.
21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）
已知函数 是奇函数.
（1）求 的值；
（2）求 的反函数 ；
（3）对于任意的 ，解不等式： .
22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分）
数列 满足 ， （ ），令 ， 是公比为 的等比数列，设 .
（1）求证： ；
（2）设 的前 项和为 ，求 的值；
（3）设 前 项积为 ，当 时， 的最大值在 和 的时候取到，求 为何值时， 取到最小值.
23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分）
已知抛物线 的焦点 ，线段 为抛物线 的一条弦.
（1）若弦 过焦点 ，求证： 为定值；
（2）求证: 轴的正半轴上存在定点 ，对过点 的任意弦 ，都有 为定值；
（3）对于（2）中的点 及弦 ，设 ，点 在 轴的负半轴上，且满足 ，求 点坐标.
点击下载：上海市杨浦区2015届高三4月学业质量调研（二模）数学理试题
