重庆市高2015级学生学业调研抽测试卷（第二次）
文科数学
数学试题卷（文科）共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用 毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.
1．已知 ，则
A． B． C． D．
2．已知 且 ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
3．设等差数列 的公差 不为 ．若 ，且 成等比数列，则公差
A． B． C． D．
4．已知 ， ，且 ，则向量 与向量 的夹角为
A． B． C． D．
5．已知 ,则“ ”是“直线 与 平行”的
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知实数 满足条件 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
7．若函数 的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数
在 上的最小值为
A． B． C． D．
8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为
A． B． C． D．
9．在如图所示的程序框图中，若输出的 值等于 ，则在该程序框图中的
判断框内填写的条件为
A． B． C． D．
10．设 为双曲线 的右焦点，点 的坐标为
．若圆 与双曲线的渐近线相切，且 ，
则该双曲线的离心率 的取值范围是
A． B． C． D．
二．填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上．
11．函数 的定义域为 ．
12．某商场在今年春节期间的促销活动中，对正月初三9时至14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知9时至10时的销售额为 万元，则11时至
12时的销售额为 万元．
13．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 在区间 上取得极大值时， 的取值
为 ．
14．若复数 满足 ，且 在复平面内对应的点位于第二象限，则 ．
15．已知函数 ，若方程 有三个实根，则实数 的取值范围是 ．
三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
16. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）
已知数列 的前 项和 ，其中 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求数列 的前 个偶数项的和 ．
17. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
某区今年春季运动会共有5场篮球比赛，其中甲、
乙两运动员得分的茎叶图如图所示．
（Ⅰ）求甲、乙两名队员得分的平均值和方差，并
判断哪一个队员的成绩更稳定；
（Ⅱ）在甲队员的得分中任选两个得分，求恰有一
个得分不低于平均分的概率．
18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）
设 分别是锐角 的角 所对的边，且 ．
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的面积 ．
19. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问4分．）
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， 分别为 的中点，且 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积．
20. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若 存在最大值 ，且 ，求 的取值范围．
21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率 为 ，过
的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且△ 的周长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，且 ．过点 作
直线 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程．
高2015届学生学业调研抽测(第二次)
数学试题（文科）参考答案
一、选择题：1～5:D D A B C; 6～10：C D B A A．
二、填空题：11． ， 12. ， 13． ， 14． ， 15． ．
三、解答题：
16. 解：（Ⅰ）∵ ， ，
∴ ，即 ；……………………………………………………2分
同理 ．……………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵ ，∴ ，……8分
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴数列 的偶数项是以 为公差的等差数列．……………………………10分
又由（Ⅰ）知， ，∴ ，
∴ ． ……………………13分
17．解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲、乙的得分分别为：
甲：9，11，12，15，28； 乙：7，10，15，19，24．
∴ ， ．
∴甲、乙的平均值相同． ………………………………………………………2分
……………………………………………………………………………………6分
∵ ，故乙队员的成绩比甲队员的成绩稳定．………………………7分
（Ⅱ）在甲队员的得分中任意抽取两个得分的情形为：
共有10种情形．…………………………………………………………………9分
而恰有1个分数不低于平均分15分的有：
共有6种情形 ……………………………………………………………………11分
∴所求概率 ． ………………………………………………………13分
18．解：（Ⅰ）∵ 为锐角三角形，且 ，
∴由正弦定理，得 ，…………………………2分
∴ ．………………………………………………………………4分
故 ．……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵ ，∴ (1)………………………………7分
又∵ ， ，
∴由余弦定理，得 ，即 (2)…9分
由（1）、（2）两式得： ， ……………………………………………11分
故由三角形的面积公式，得 ． ……………………13分
19．解：（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，………………2分
又∵ 平面 ， ，
∴平面 平面 ，……………3分
∴ 平面 ．……………………4分
（Ⅱ）证明：∵底面 是正方形，
∴ ．……………………………5分
又∵ 底面 ，∴ ， ………………………………………6分
∴ 平面 ，故平面 平面 ． ……………………………8分
（Ⅲ）解：∵ 底面 ，∴ 为三棱锥 的高， ………9分
又∵ ，∴ ，…………………………………………10分
∴三棱锥 的体积 ．…………………………12分
20．解：（Ⅰ）当 时， ．
．
∴ ． ………………………………………………………………2分
又∵ ，
∴曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 ． …………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵函数 的定义域为 ，且 ．
当 时，由 知 恒成立，得 在区间 上单
调递减． ……………………………………………………………………6分
当 时，由 知 恒成立，得 在区间 上单
调递增． ……………………………………………………………………8分
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
∴ 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减．
∴当 时，函数 有最大值，且最大值为： ． …………………………………………10分
∵ ，∴ ，解之得 ． …………………11分
∴ 的取值范围是 ． …………………………………………………12分
21．解：（I）由题意知， ，所以 ． ………………………………………2分
∵ ，∴ ， ． …………………………………………………3分
∴椭圆 的方程为 ． ……………………………………………4分
（II）∵ ，∴ ．
（1）若直线 的斜率不存在，则点 在 轴上．设点 的坐标为 ，则
， .
又∵ ， 两点在椭圆 上，∴ ， ．
∴点 的坐标为 ,即 ． …………………………………6分
设 ， ，则 ， ．……8分
∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
整理得 ，满足 ．……………………………………9分
又由已知可得，过原点 与直线 垂直的直线方程为 ，
解方程组 得点 的横坐标与纵坐标分别为 ，
∴ ．即 ．…11分
综合（1）、（2）可知，点 的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为 的一个圆，且该
圆的方程为： ．…………………………………………………12分
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