2014学年奉贤区高三数学二模调研测试卷
（考试时间：120分钟，满分150分）
一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)
1、已知 ， ，则 =____________．
2、已知复数 满足 是虚数单位)，则 ____________．
3、函数 的定义域为____________．
4、若 的值域为_____________．
5、在 的展开式中，含 的项的系数是____________．
6、以抛物线 的焦点 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．
7、若 ∈ ， ＝ ，则 的值是__________．
8、古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共________人．
9、(理)点 到直线 （ 为参数, ）的距离恒为2，则 的坐标__________．
(文)如图为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图
是边长为 的正三角形、俯视图轮廓是正方形，
则该几何体的侧面积为____________．
10、(理)从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，记中位数是 ，则数学期望 =_______．
(文)从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，2恰好是中位数的概率是_______．
11、(理)关于 的实系数一元二次方程 的两个虚根 、 ，若 、 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．
(文)若不等式组 所确定的平面区域的面积为0，则实数 的取值范围为____．
12、(理)已知函数 互为反函数，又 的图像关于直线 对称，若 是 上的函数， ，则 =_________．
(文)已知函数 互为反函数，又 的图像关于直线 对称，若 ____________．
13、(理)已知非零向量序列： 满足如下条件： , ，且 ， ，当 最大时， _____．
(文)设 是曲线 的两个焦点，曲线上一点与 构成的三角形的周长是 ，曲线上的点到 的最小距离为 ，则 ____________．
14、(理)在极坐标系中，曲线 上的点到 的距离最小值是_______．
(文)已知非零向量序列： 满足如下条件： , ，且 ， ，当 最大时， _____．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15、若 的终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16、已知 为各项都大于零的数列，则“ ”是“ 不是等比数列”的（ ）
A．充分且必要条件 B．充分但非必要条件
C．必要但非充分条件 D．既不充分也不必要条件
17、已知 ，若两个不等的实数 ，且 ，则 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
18、(理)已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C，其中 ，存在实数 满足 ，则实数 的关系为（ ）
A． B． C． D．
(文) 如图，取一个底面半径和高都为 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为 的半球放在同一水平面 上．用一平行于平面 的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（ ）
A．S圆＞S圆环 B．S圆＜S圆环 C．S圆=S圆环 D．不确定
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19、如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，
距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，
若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，
用多少小时能尽快追上乙船？(13分)
20、三棱柱 中，它的体积是 ，底面 中，
, , 在底面的射影是 ，且 为 的中点．
（1）求侧棱 与底面 所成角的大小；(7分)
（2）求异面直线 与 所成角的大小．(6分)
21、平面直角坐标系中，点 、 ，平面内任意一点 满足：直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， ，点 的轨迹为曲线 ．双曲线 以曲线 的上下两顶点 为顶点， 是双曲线 上不同于顶点的任意一点，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ．
（1）求曲线 的方程；(5分)
（2）(理)如果 ，分别求双曲线 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)
(文)如果 ，求双曲线 的焦距的取值范围．(9分)
22、设 个不全相等的正数 依次围成一个圆圈．
（1）设 ，且 是公差为 的等差数列，而 是公比为 的等比数列；数列 的前 项和 满足 ，求数列 的通项公式；（6分）
（2）设 ，若数列 每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求 ；（4分）
（3）在（2）的条件下， ，求符合条件的 的个数．（6分）
23、已知 定义在实数集 上的函数，把方程 称为函数 的特征方程，特征方程的两个实根 （ ）称为 的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（5分）
（2）(理)求 表达式；（7分）
(文)求 的值；（7分）
（3）(理)把函数 的最大值记作 、最小值记作
令 ，若 恒成立，求 的取值范围．（6分）
(文)判断函数 的单调性，并证明．（6分）
高三二模数学参考答案
一、填空题
理科
1、 ； 2、 ；
3、 ； 4、 ； 5、 ；
6、 ； 7、 ；
8、195； 9、 ；
10、2 11、4； 12、 ；
13、8或9 14、
文科
1-8同理科
9、8 ；
10、 ； 11、 ； 12、 ；
13、4或5； 14、8或9；
二、选择题
理15、D 16、B 17、 A 18、A
文15、D 16、B 17、 A 18、C
三、解答(74分)
19、解析：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇。
在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5，
设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°－45°－15°=120° 2分
根据余弦定理 ，
， 4分
，（4t－3）（32t+9）=0，解得t= ，t= （舍） 6分
∴AC=28× =，BC=20× =15 8分
根据正弦定理，得 ， 10分
又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin ， 11分
又 ＜ ＜ ，∴arcsin ＜ ，
甲船沿南偏东 －arcsin 的方向 12分
用 小时可以追上乙船。 13分
20、解答
（1）依题意， 面 ， 就是侧棱 与底面 所成的角 2分
4分
5分
计算 ， ， 7分
（2）取 的中点 ，连 ，
则 （或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分 面 ， ‖ ，面 ‖面 面 ，
11分
12分
所求异面直线 与 所成的角 13分
21、（1） 5分
（2）设双曲线方程为 6分
在双曲线上，所以
8分
9分
10分
（理）双曲线渐近线的方程 11分
设倾斜角为 ，则
或者 12分
所以一条渐近线的倾斜角的取值范围是 13分
另一条渐近线的倾斜角的取值范围是 14分
（文）焦距是 12分
14分
22、解：（1）因 是公比为 的等比数列，
从而 1分
由 ， 2分
故解得 或 （舍去） 3分
因此 ，又 ，解得 4分
从而当 时， 5分
当 时，由 是公比为 的等比数列得
6分
因此 6分
（2）由题意
7分
得 , 8分
9分
依此类推 10分
（3）猜想：
，一共有335 11分
得
又 ，④故有 12分
.⑤ 13分
若不然，设
若取 即 ，则由此得 ，
而由③得 得 14分
由②得
而 此推得 （ ）与题设矛盾 15分
同理若P=2，3，4，5均可得 （ ）与题设矛盾,
因此 为6的倍数. 16分
23、解答
（1） 时， 是奇函数 1分
3分
， 是非奇非偶函数 4分
举反例说明 5分
（2）（理） 6分
恒成立 7分
8分
9分
11分
12分
2、（文） 6分
恒成立 7分
8分
9分
11分
12分
（3）、（理）证明说理 上是递增函数
13分
在 内单调递增 16分
恒成立 17分
18分
（文）设
13分
14分
15分
16分
在 内单调递增 18分
点击下载：上海市奉贤区2015届高三第二次模拟考试数学（文理）合卷
