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2015江西省六校高三第二次联考数学文试题及答案

来源:3773高考 2015-4-22 14:54:35

江西省六校2015届高三下学期第二次联考
数学(文)试题

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.)
1、设全集 , , ,则 等于
A.        B.       C.         D.
2、复数 等于
(A)-i         (B)i        (C)12-13i        (D)12+13i
3、设集合 ,那么“ ”是“ ”的
A、充分不必要条件              B、必要不充分条件
   C、充要条件                   D、既不充分也不必要条件
4、在△ABC中,已知| |=4,| |=1,S△ABC= ,则 • 等于
A.-2       B.2            C.±4       D.±2
5、椭圆 的两顶点为 ,且左焦点为F, 是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 为
    A、        B、        C、         D、
6、若3sin θ=cos θ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于
A.-       B.         C.-         D.
7、如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形, 则其体积是
A.        B.       C.       D. 
8、运行如图所示的程序框图,若输出结果为 ,则判断框中应该填的条件是
A.k>5       B.k>6          C.k>7          D.k>8
9、设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=|x+3y|的最大值为
A.4         B.6               C.8        D.10
10、已知直线l1:4x-3y+7=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A.2        B.3       C.          D.
11、已知定义域为R的函数f(x)满足:f(3)=-6,且对任意x∈R总有 ,则不等式f(x)<3x-15的解集为
A.(-∞,4)      B.(-∞,3)      C. (3,+∞)       D.(4,+∞)
12、已知 ,若 在 上恒成立,则实数 的取值范围是   
 A.      B.       C.        D. 
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13、在集合A={0,2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P落在圆x2+y2=9内部的概率为____       ____.
 14、已知向量 与 的夹角为60°,且| |=3,| |=2.若 =λ  + ,且 ⊥ ,则实数λ的值为______      __.
15、已知正三棱锥 ,点 都在半径为 的球面上,若 两两相互垂直,则球心到截面 的距离为             .
16、已知函数 的值域为 ,设 的最大值为 ,最小值为 ,则 =_________.                            
三、解答题(本大题共6小题,共70分.)
17、数列  是递增的等比数列,且 ,又 .
(1)求数列 、 的通项公式;
(2)若 ,求 的最大值.
18、如图,正三棱柱ABC―A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1.
   (I)求证:A1C//平面AB1D;
   (II)求点c到平面AB1D的距离.


19、某校50名学生参加2014年全国数学联赛初赛,成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组:第一组 ,第二组 ,  ,第五组 .按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的,求该校
参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数;
(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩,求这两个成绩差的绝
对值小于30分的概率.

 

20、已知椭圆 过点 ,且离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ) 为椭圆 的左右顶点,直线 与 轴交于点 ,点 是椭圆 上异于 的动点,直线 分别交直线 于 两点.证明:当点 在椭圆 上运动时, 恒为定值.

21、已知:函数f(x)=
    (I)求f(x)的单调区间.
(II)若f(x) >0恒成立,求a的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图, 内接于直径为 的圆 ,过点 作圆 的切线交 的延长线于点 , 的平分线分别交 和圆 于点 ,若 .
(1)求证: ;
(2)求 的值.

 


23、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线  ( ),过点 的直线 的参数方程为 ( 是参数),直线 与曲线 分别交于 、 两点.
(1)写出曲线 和直线 的普通方程;
(2)若 , , 成等比数列,求 的值.


24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数 .
(1)解不等式 ;
(2)若 对一切实数 均成立,求 的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

六校文科数学参考答案
一、选择题
1、D  2、B  3、A  4、D  5、B  6、B 7、A  8、B  9、C  10、c 11、c 12、B
二、填空题
13、 4/9      14、1/6       15、   16、 
三、解答题
17、(1)由 可得 或
由题可知 ,                            .....2分
        ......6分
(2)       ……8分
 ,             ………10分
整理得: , 的最大值是10.
                                                       ……12分
18、(I)证明:
连接A1B,设A1B∩AB1 = E,连接DE.
∵ABC―A1B1C1是正三棱柱,且AA1 = AB,
∴四边形A1ABB1是正方形,
∴E是A1B的中点,          ………3分
又D是BC的中点,
∴DE∥A1C.
∵DE 平面AB1D,A1C 平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.               ………6分
     (II)解:∵平面B1BCC1⊥平面ABC,且AD⊥BC,
∴AD⊥平面B1BCC1,又AD 平面AB1D,∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.       ……….8分
在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H,
则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离.
由△CDH∽△B1DB,得
即点C到平面AB1D的距离是          ……………..12分
(利用等体积法也酌情给分)
19.解(1)由频率分布直方图知,成绩在 内的人数为:
 (人)
所以该班成绩良好的人数为27人.    ……….. 5分
(2)由频率分布直方图知,成绩在 的人数为 人,设为 、 、 ;
成绩在 的人数为 人,设为 、 、 、 .
若 时,有  3种情况;
若 时,有 6种情况;
若 分别在 和 内时,共有12种情况.
所以基本事件总数为 种,                        ……………10分
事件“ ”所包含的基本事件个数有9种.
∴ ( ) .    ……………….. 12分
20、 解:(Ⅰ)由题意可知, ,而 且 .  
解得 ,所以,椭圆的方程为             ………5分
(Ⅱ) .设 , ,
直线 的方程为 ,令 ,则 ,
即 ;
直线 的方程为 ,令 ,则 ,
即 ;                              …………8分
 
而 ,即 ,代入上式,
∴ ,所以 为定值                              …………12分
21、解:(Ⅰ) 的定义域为 ,
           ………3分
(1)当 时,在 上 ,在 上 ,
因此, 在 上递减,在 上递增.          ………5分
(2)当 时,在 上 ,在 上 ,
因此, 在 上递减,在 上递增.             ………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: 时,
 
 .       ………9分
当 时, ,
 .        
综上得: .                    ………12分
22、解: (1)∵PA是圆O的切线   ∴    又 是公共角
     ∴ ∽                                          ………2分
∴         ∴                      ………4分
  (2)由切割线定理得:     ∴
       又PB=5   ∴                                      ………6分
       又∵AD是 的平分线  ∴
       ∴      ∴                    ………8分
      又由相交弦定理得:                 ………10分
23、解:(Ⅰ)曲线 的普通方程为
直线的普通方程为               ---------4分
(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得 ,
 ,      ------------6分
又  ,
由题意知, ,
代入得                              --------10分
24、解:(Ⅰ)当x 时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0
得x>-5,所以x 成立
当 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0
得x>1,所以1<x<4成立
当 时f(x)=-x-5>0得x<-5所以x<-5成立,
综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}             ------------5分
(Ⅱ)f(x)+ =|2x+1|+2|x-4|

所以m≤9                            -----------10分

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