江西省六校2015届高三下学期第二次联考
数学（理）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）
1、若集合 ，
则集合 所有真子集的个数为
A. 3 B. 7 C. 8 D. 15
2、若复数 满足 ，则复数 的共轭复数 的虚部为
A． B． C． D．
3、下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是
A． B. C. D.
4、从抛物线 上一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 ，设抛物线的焦点为 ，则 的面积为
A．5 B．10 C．15 D．20
5、已知在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定．若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
6、以下四个命题中
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；[来源:Zxxk.Com]
②对于命题 ： 使得 . 则 ： 均有 ；
③设随机变量 ，若 ，则 ；
④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1.
其中真命题的个数为[来源:学科网]
A．1 B．2 C．3 D．4
7、阅读如下程序框图，如果输出 ，那么空白的判断框中应填入的条件是
A． B． C． D．
8、某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有
A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种
9、设函数 ,将 的图像向右平移 个单位,使得到的图像关于 对称,则 的最小值为
A. B. C. D.
10、已知 ，在区间[0,2]上任取三个数 ,均存在以 为边长的三角形，则 的取值范围是
A. B. C. D.
11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个
棱锥的三视图，则此棱锥的体积为
A. B. C. D.8
12、已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为双曲线的中心， 是双曲线右支上的点， 的内切圆的圆心为 ，且圆 与 轴相切于点 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，若 为双曲线的离心率,则
A. B.
C. D. 与 大小关系不确定
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、已知向量 、 满足 ， ，且 ，则向量 在向量 方向上
的投影为 .
14、已知
设 ，则 = .
15、某校对文明班级的评选设计了 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式 来计算各班的综合得分, 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得 的值增加最多，那么该指标应为 .（填入 中的某个字母）[来源:学科网]
16、已知 ABC的三个顶点在以 为球心的球面上， 分别为 的三个内角 的对边,满足 ，且 ,若三棱锥 的体积为 ,则球 的表面积为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．）
17、（本小题满分12分）已知数列 的前 项和为 ，数列 是首项为 ，公差不为零的等差数列,且 成等比数列．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，前 项和为 ,若对于 不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
18、（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为 ， ， ， ，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），
（1）求 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小
球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取 个小球，其中重量在 内的小球个数为 ，求 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ， ， ，
是 上的点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 是 的中点，且二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20、（本小题满分12分）已知椭圆 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上的动点， 的面积最大值为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过定点 且与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点，直线 与直线 分别与 轴交于 两点，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
21、（本小题满分12分）已知函数 （ ）．
（1）若函数 的图象在 处切线的斜率为 ，且不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
（2）若函数 的图象与 轴有两个不同的交点 ，且 ，
求证： （其中 是 的导函数）．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆 于点 ，若 .
（1）求证： ；
（2）求 的值.
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线 （ ），过点 的直线 的参数方程为 （ 是参数），直线 与曲线 分别交于 、 两点．
（1）写出曲线 和直线 的普通方程；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的值．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若 对一切实数 均成立，求 的取值范围．
六校联考数学卷（理）参考答案与评分标准
一、 选择题
1~6 BADBDB 7~12 BCCCBA
二、 填空题
13、1 14、-8
15、C 16、
三、 解答题
17、解:（1）当n=1时 ， ，
当 时， ，
得
∴数列{ }是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{ }的通项公式为 ． ……3分
，设公差为 ，则由 成等比数列，
得 ，
解得 （舍去）或
∴数列 的通项公式为 ． ……6分
（2） ……8分
则 ……10分
∵ , ∴ ……12分
18、解：（1）由题意，得 ，
解得 ； ……2分
又由最高矩形中点的的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20克， ……4分
而 个样本小球重量的平均值为：
（克）
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 克； ……6分
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 内的概率为 ，则 .
的取值为 、 、 、 ， ， ，
， . ……10分
的分布列为：
.（或者 ） ……12分
19、解：（1）证明： 平面ABCD， 平面ABCD， ，
， ，
， 又 ， 平面 ，
∵ 平面EAC， 平面 平面 ……6分
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C（0，0，0）， （1，1，0）， （1，－1，0）
设 （0，0， ）（ ），则 （ ， ， ），
， ， ，
取 =（1，－1，0） ……8分
则 ， 为面 的法向量
设 为面 的法向量，则 ，
即 ，取 ， ， ，则 ，
依题意， ，则 于是
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ……12分
（或设CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，请酌情给分）
20、解：（1）由题意得 ，解得 ， ．
所以椭圆 的方程是 ． ……4分
（2）以线段 为直径的圆过 轴上的定点.
当直线 斜率不存在时
以线段 为直径的圆的方程为： ，恒过定点 . ……5分
当直线 斜率存在时 设
由 得 ．
设 ，则有 ， ．……7分
又因为点 是椭圆 的右顶点，所以点 ．
由题意可知直线 的方程为 ，故点 ．
直线 的方程为 ，故点 ． ……8分
若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，
则等价于 恒成立． ……9分
又因为 ， ，
所以 恒成立．
又因为 ，
，
所以 ．解得 ．
故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ． ……12分
（或设 请酌情给分）
21、解：（Ⅰ）由 ，
得切线的斜率 ，故 ， …… 2分
由 得
∵不等式 在 上有解，所以 ……4分
令 则 ，
∵ ，故 时， ．当 时， ；当 时， ．
故 在 处取得最大值 ，
所以 ……6分
（Ⅱ）因为 的图象与 轴交于两个不同的点
所以方程 的两个根为 ，则 ，两式相减得
， ……8分
又 ，则
下证 （*），即证明
即证明 在 上恒成立 …10分
因为 又 ，所以
所以， 在 上是增函数，则 ，从而知
故 ，即 成立 ………12分
22、解: （1）∵PA是圆O的切线 ∴ 又 是公共角
∴ ∽ ………2分
∴ ∴ ………4分
（2）由切割线定理得： ∴
又PB=5 ∴ ………6分
又∵AD是 的平分线 ∴
∴ ∴ ………8分
又由相交弦定理得： ………10分
23、解:(Ⅰ)曲线 的普通方程为
直线的普通方程为 ---------4分
(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得 ,
， ------------6分
又 ,
由题意知, ,
代入得 ---------10分
24、解:(Ⅰ)当x 时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0
得x>-5，所以x 成立
当 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0
得x>1,所以1<x<4成立
当 时f(x)=-x-5>0得x<-5所以x<-5成立，
综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5} ------------5分
（Ⅱ）f(x)+ =|2x+1|+2|x-4|
当
所以m≤9 ------------10分
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