闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷(文科)
(满分150分,时间120分钟)
考生注意:
1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚.
2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.本试卷共有23道试题.
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分.
1.已知集合 , ,则 .
2.若复数 满足 ( 为虚数单位),则 .
3.函数 ,若 ,则 .
4.计算 .
5.若 满足 ,则 .
6.已知 , ,则 .
7. 若圆锥的侧面积为 ,底面面积为 ,则该圆锥的体积为 .
8.口袋中有形状、大小都相同的3只白球和1只黑球,现一次摸出2只球,则摸出的两球颜色不相同的概率是 .
9.已知正方形 的边长为2, 是正方形 四边上的动点,则 的最大值为 .
10.函数 的最小值为 .
11.已知函数 , ,记函数 ,则方程 的解为 .
12.已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点, 是它们的一个公共点,且 ,则 的最大值为 .
13.在 中,记角 、 、 所对边的边长分别为 、 、 ,若 ,则下列结论中:
① 是钝角三角形; ② ;
③ ; ④ .
其中错误结论的序号是 .
14.已知数列 满足:对任意 均有 ( 为常数, 且 ),若 ,写出一个满足条件的 的值为 .
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格用铅笔涂黑,选对得5分,否则一律得0分.
15.已知圆 和直线 ,则 是圆 与直线 相切的( )
(A)充要条件. (B)充分不必要条件.
(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.
16. 展开式中各项系数的和为 ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
17.已知 是定义在 上的函数,下列命题正确的是 ( )
(A)若 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线,且在 内有零点,则有 .
(B)若 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线,且有 ,则其在 内没有零点.
(C)若 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线,且有 ,则其在 内有零点.
(D) 如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线,且有 ,则其在区间 内有零点.
18.数列 是公差 不为零的等差数列,其前 项和为 ,若记数据 的方差为 ,数据 的方差为 .则 ( )
(A) . (B) .
(C) . (D) 与 的大小关系与公差 的正负有关.
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图,在直三棱柱 中, ,三棱锥 的体积为 .求直线 与 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.
某公司生产电饭煲,每年需投入固定成本40万元,每生产1万件还需另投入16万元的变动成本.设该公司一年内共生产电饭煲 万件并全部销售完,每一万件的销售收入为 万元,且 ,该公司在电饭煲的生产中所获年利润为 (万元). (注:利润 销售收入 成本)
(1)写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式;
(2)为了让年利润 不低于2760万元,求年产量 的取值范围.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,每小题满分各7分.
椭圆 的左右焦点分别为 ,已知椭圆 上的点 到 的距离之和为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)若椭圆上两点 关于点 对称,求直线 的方程.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3) 小题满分6分.
已知函数
(1)求函数 的最小正周期;
(2)若存在 满足 ,求实数 的取值范围;
(3)求证:任意的 ,存在唯一的 ,使 成立.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.
已知数列 为等差数列,满足 ,其前 和为 ,数列 为等比数列,且 对任意的 恒成立.
(1)求数列 、 的通项公式;
(2)是否存在 ,使得 成立,若存在,求出所有满足条件
的 ;若不存在,说明理由;
(3)记集合 ,若 中共有5个元素,求实数 的取值范围.
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准
一. 填空题 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.(理) ,(文) ; 6. ; 7. ;8.(理) ,(文) ;9.(理) ,(文) ; 10.(理) ,(文) ; 11.(理) ,(文) ;12. ; 13.(文理) ④;
14.(理) ,(文) 或 或
二. 选择题 15. B; 16. B; 17.D; 18. A.
三. 解答题
19.(文)
………………………………4分
, 是直线 与直线 所成的角 ……6分
………………………10分
所以直线 与 所成的角为 ………………12分
19.(理)法一: ,
平面 ,
是直线 与平面 所成的角.…………………4分
设
,
, ……………8分
所以 .…12分
法二:如图,建立空间直角坐标系,设 . 得点 ,
, . 则 ,
平面 的法向量为 . …………………4分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,……………8分
所以 .…12分
20. (1) ……6分
(2) 解 ………………12分
得 时, 所以 .
答:为了让年利润 不低于2760万元,年产量 . …………………14分
21.(文)(1) ………………3分
将点 的坐标代入方程 得 ………6分
所以椭圆 的方程为 .…………………………………7分
(2)法一:设点 的坐标分别为
则 ,且 ………9分
由 得:
………………12分
所以直线 的方程为 ………………14分
法二:设点 的坐标分别为
设直线 的方程为 ………………9分
将 代入
得
由 得 ………………12分
所以直线 的方程为 ………………14分
21.(理)(1)因为椭圆 过点 ,所以 ,解得 ……3分
又以 为直径的圆恰好过右焦点 ,所以
又
得 , ,所以
而 ,所以 得 ………………6分
故椭圆 的方程是 . ………………………………7分
(2)法一:设点 的坐标分别为 ,
则 ,且 ………9分
由 得:
所以 所在直线的方程为 ………………11分
将 代入 得
………14分
法二:设点 的坐标分别为 ,………9分
则
两等式相减得 ………………11分
将 代入 得
.……14分
22.(1)(文理)
,……………2分
函数 的最小正周期 ………………………………4分
(2)当 时, , 6分
…………………8分
(理)存在 满足 的实数 的取值范围为 .……10分
(文)存在 满足 的实数 的取值范围为 .……10分
(3)(理)存在唯一的 ,使 成立. ………………12分
(文理)当 时, ,
………………14分
设 ,则 ,由
得
所以 的集合为
∵
∴ 在 上存在唯一的值 使 成立. 16分
23.(文) (1)法1:由 得
所以 ,所以
故 ……………………………2分
因为 ①
对任意的 恒成立
则 ( ) ②
① ②得
又 ,也符合上式,所以
所以 ……………………………4分
法2:由于 为等差数列,令 ,
又 ,
所以
所以 故 ………………2分
因为 ①
对任意的 恒成立
则 ( ) ②
① ②得
又 ,也符合上式,所以
所以 ……………………………4分
(2)假设存在 满足条件,则
化简得 ……………………………6分
由 得 为奇数,所以 为奇数,故
得 ……………………8分
故
所以存在满足题设的正整数 . ……………………………10分
(3)易得 ,则 , ……………………12分
下面考察数列 的单调性,
因为 ……………14分
所以 时, ,又 ,
……………………………16分
因为 中的元素个数为5,所以不等式 解的个数为5,
故 的取值范围是 . ……………………………18分
23.(理) (1)法1:设数列 的公差为 ,数列 的公比为 。
因为
令 分别得 , , ,又
所以 即 …………………2分
得 或
经检验 符合题意, 不合题意,舍去。
所以 . ……………………………4分
法2:因为 ①
对任意的 恒成立
则 ( ) ②
① ②得
又 ,也符合上式,所以 ………………2分
由于 为等差数列,令 ,则 ,
因 为等比数列,则 (为常数)
即 恒成立
所以 ,又 ,所以 ,故 .………4分 (2)假设存在 满足条件,则
化简得 ……………………………6分
由 得 为奇数,所以 为奇数,故
得 ……………………8分
故 ,这与 矛盾,所以不存在满足题设的正整数 .……10分
(3)由 ,得 ,
设 ,则不等式等价于 .
∵ ,∴ ,数列 单调递增. ……………………………12分
假设存在这样的实数 ,使得不等式 对一切 都成立,则
① 当 为奇数时,得 ; ……………………………14分
② 当 为偶数时,得 ,即 .……………16分
综上, ,由 是非零整数,知存在 满足条件.……18分
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