2015年淮北市高三第二次模拟考试
数学 试题 （理科）
满分150分 时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0.5mm的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。
第I卷 选择题 （共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 （i为虚数单位），则 （ ）
A．25 B． C．5 D．
2. 设函数 ，则其导函数 是 （ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为 的奇函数
3.已知圆 ，直线 ；则： 是 上恰有不同四点到 的距离为 的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 如果等差数列 中， ， ，则 （ ）
A. -11 B. 10 C. 11 D. -10
5．若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6. 执行如图所示的程序框图，则输出的λ是 ( )．
A．－4 B．－2 C．0 D．－2或0
7．若 ， ，则 的最小值是 （ ）
A． B．3 C． D． 4
8．函数 的最大值是 （ ）
A． B．1 C． D．2
9．已知 ,则 ( )
A． B． C． D．
10.已知平面向量满足： ,若 ,则 的取值范围是（ ）
A B C D
第（II）卷 非选择题（100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且 ，则
12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为
13. 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是
14. 已知曲线 与曲线 相交于 两点，又原点 ,则
15、在 中，内角A，B，C的所对边分别是 有如下下列命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则△ABC为等边三角形；
③若 ，则△ABC为等腰三角形；
④若 ，则△ABC为钝角三角形；
⑤存在 ，使得 成立.
其中正确的命题为__________________（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
已知函数 ， .
求: (I) 函数 的单调增区间；
(II)若 ，求函数 的值域.
17. （本小题满分12分）
某校一个研究性学习小组从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为 ，于是该学习小组分成两个小组进行验证性实验：
（Ⅰ）第一个小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；
（Ⅱ）第二个小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次试验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验次数不超过5次。求这一小组所做的种子发芽实验次数X的分布列和数学期望.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形， ,PA⊥平面ABCD， ， ,， 分别是 的中点.
(Ⅰ)证明：直线 平面 ；
(Ⅱ)求平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积 .
19. （本小题满分12分）
已知函数 ，又数列 中， ，该数列的前 项和记为 ，对所有大于1的自然数 都有 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）记 ， 其前 项和为 ，证明： .
20. （本小题满分13分）
已知椭圆： 的左、右焦点分别为 ， 是此椭圆上的一动点，并且 的取值范围是 .
（Ⅰ）求此椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线 与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是此椭圆上两点，并且满足 ，求证：向量 与 共线.
21（本小题满分14分）
设函数 .
（Ⅰ） 求 的极值；
（Ⅱ）设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
（III）若 ，证明： .
2015年淮北市高三第二次模拟考试
数学参考答案（理科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B B D C A C
二、填空题
11. 12.
13. 49 14.
15. (1)(2)(4)
三、解答题
16. （本小题满分12分）
解：(I) ，
令
解得：
的单调增区间为：
(II)由 知：
从而有： ，
故：
因此：函数 的值域：
17. （本小题满分12分）
.(1)法一：P= ；
法二：P=1－ （ 。
(2)随机变量X的可能取值为：1 、2、3、4、5；
P(X=1)= ; P(X=2)= ; P(X=3)= ; P(X=4)= ; P(X=5)= ;
则随机变量X的分布列为:
X 1 2 3 4 5
P
.
18. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)以 原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图的空间直角坐标系，则： ， , , , ,
, ,
,且 面 所以，直线 平面
(Ⅱ)设 是面MNC的一个法向量，则
取 ，得
故平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值
（Ⅲ） , , , , ,
,设 到面 的距离为 ，则
三棱锥 的体积
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由 ， 知：
又 ， ，所以
即： 是以 为首项， 为公差的等差数列
，
进而可得：
（Ⅱ）
20. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设 ， ，其中 ，则 ，
从而
由于 ，所以 ，又 的取值范围是
所以
（Ⅱ）因为 ，而 与 的平分线的方向向量平行，所以 的平分线垂直于 轴
由 解得：
不妨设 的斜率为 ，则 的斜率为 ，因此 和 的方程分别为 ， ，由 消去 得：
因为 在椭圆上，所以 是 的一个根
从而 ，同理
进而
易求： ,故：
因此，向量 与 共线
21（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） ，
令 ，解得： ，且当 时 ， 时
因此： 的极小值为
（Ⅱ）
令 ，则
注意到： ，若要 ，必须要求 ，即 ，亦即
另一方面：当 时， 恒成立；
故实数 的取值范围为：
（III）构造函数 ，
， ， ， 在 上是单调递增的；
故 ，即：
另一方面，构造函数
在 上是单调递减的
故 即：
综上，
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