松原实验高中 2016年三校联合模拟考试
理科数学能力测试
长春十一高中
东北师大附中
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若实数数列： 成等比数列，则圆锥曲线 的离心率是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
4．函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 天每天日平均温度不低于 ”，现有甲、乙、丙三地连续 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位 ）
①甲地： 个数据的中位数为 ，众数为 ；
②乙地： 个数据的中位数为 ，平均数为 ；
③丙地： 个数据中有一个数据是 ，平均数为 ，
方差为 .则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3
7． 的展开式中含 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．若如图所示的程序框图输出的 是 ，则条件①
可为（ ）
A． B．
C． D．
9．若方程 的任意一组解 都满足不等式 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.已知 外接圆的圆心为 ， ， ，
为钝角， 是 边的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
11．过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线交双曲线右支于点 ，切点为 ， 的中点 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12.函数 .给出函数 下列性质：①函数的定义域和值域均为 ；②函数的图像关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④ （其中 为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤ 为函数 图象上任意不同两点，则 .则关于函数 性质正确描述的序号为（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③④ D．②④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．向量 ， ， ，则向量 与 的夹角为 .
14．函数 的值域为 .
15．设 为坐标原点， ，若点 满足 ，则 的最大值是 .
16．已知集合 ，集合 的所有非空子集依次记为： ，设 分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为 ，已知
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ， ，求 .
18. （本小题满分12分）
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 和一个正四棱锥 组合而成， ， .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求正四棱锥 的高 ，使得二面角 的余弦值是 .
19. （本小题满分12分）
生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于 为正品，小于 为次品，现随机抽取这两种元件各 件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
元件甲
元件乙
（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利 元，若是次品则亏损 元；生产一件元件乙，若是正品可盈利 元，若是次品则亏损 元.在（Ⅰ）的前提下：
（1）记 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量 的分布列和数学期望；
（2）求生产 件元件乙所获得的利润不少于 元的概率
20. （本小题满分12分）
椭圆 与 的中心在原点，焦点分别在 轴与 轴上，它们有相同的离心率 ，并且 的短轴为 的长轴， 与 的四个焦点构成的四边形面积是 .
（Ⅰ）求椭圆 与 的方程；
（Ⅱ）设 是椭圆 上非顶点的动点， 与椭圆 长轴两个顶点 ， 的连线 ， 分别与椭圆 交于点 ， .
（1）求证：直线 ， 斜率之积为常数；
（2）直线 与直线 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；
若不是，说明理由.
21. （本小题满分12分）
设函数 ，（ ）
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 在 内有极值点，当 ， ，求证： .（ ）
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲
如图， 是圆 外一点， 是圆 的切线， 为切点，割线 与圆 交于 ， ， ， 为 中点， 的延长线交圆 于点 ，证明：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），直线 的参数方程为 ,( 为参数).以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 .
（Ⅰ）求点 的直角坐标，并求曲线 的普通方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线 的两个交点为 ， ，求 的值.
24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲
已知函数 ，
（Ⅰ）若 ，解不等式： ；
（Ⅱ）若 恒成立，求 的取值范围.
松原实验高中 2016年三校联合模拟考试
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参考答案及评分标准
一、选择题（每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C D B C D B D C A D
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由条件： ，
由于： ，所以： ，
即： ………….5分
（Ⅱ） ，所以： ，………….6分
， ………….8分
又： ，
由 ，
所以： ，所以： ………….12分
18. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：直三棱柱 中， 平面 ，
所以： ，又 ，
所以： 平面 ， 平面 ，
所以：平面 平面 ………….5分
（Ⅱ）由（Ⅰ） 平面 ，以 为原点， 方向为 轴建立空间直角坐标系 ，设正四棱锥 的高 ， ，
则 ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量
则： ，取 ，则 ，所以：
设平面 的一个法向量 ，则 ，
取 ，则 ， ，所以： ………….10分
二面角 的余弦值是 ，所以： ，
解得： ………….12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：
元件乙为正品的概率约为： ………….4分
（Ⅱ）（1）随机变量 的所有取值为 ， ， ， ，而且
； ；
；
所以随机变量 的分布列为：
………….8分
所以： ………….9分
（2）设生产的 件元件乙中正品有 件，则次品有 件，
依题意， ，解得： ，所以 或 ，
设“生产 件元件乙所获得的利润不少于 元”为事件 ，则：
………….12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意 ，设 ： ， ： ，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积 ，解得： ，
所以椭圆 ： ， ： ………….4分
（Ⅱ）（1）设 ，则 ， ，
， ………….6分
所以： ，
直线 ， 斜率之积为常数 ………….8分
（2）设 ，则 ，
， ，
所以： ， 同理： ………….10分
所以： ，由 ， ，结合（1）有
………….10分
21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）函数 的定义域为 ， 当 时， ，…………3分
令： ，得： 或 ，所以函数单调增区间为： ，
，得： ，所以函数单调减区间为： ， …………5分
（Ⅱ）证明： ，
令： ，
所以： ， ，若 在 内有极值点，
不妨设 ，则： ，且
由 得： 或 ，
由 得： 或
所以 在 递增， 递减； 递减， 递增
当 时， ；
当 时，
所以：
，
设： ， ，则
所以： 是增函数，所以
又：
所以：
22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲
（Ⅰ）证明：连接 ， ,由题设知 ，故
因为： ， ，
由弦切角等于同弦所对的圆周角： ，
所以： ，从而弧 弧 ，因此： ………5分
（Ⅱ）由切割线定理得： ，因为 ，
所以： ，
由相交弦定理得：
所以： ………10分
23.（本题满分10分）选修4——4坐标系与参数方程
（Ⅰ）由极值互化公式知：点 的横坐标 ，点 的纵坐标
所以 ；消去参数 的曲线 的普通方程为： ………5分
（Ⅱ）点 在直线 上，将直线的参数方程代入曲线 的普通方程得：
，设其两个根为 ， ，所以： ， ，
由参数 的几何意义知： .………10分
24. （本题满分10分）选修4——5 不等式选讲
（Ⅰ）当 时，
解得： ，所以原不等式解集为 ………5分
（Ⅱ） ，若 恒成立，
只需：
解得： 或 ………10分
点击下载：吉林省东北师范大学附属中学、长春十一高和松原实验中学2016届高三三校联考试题 数学（理）
