2013江西省八校联考数学理科试题答案
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2013年江西省 联 合 考 试
数学（理科）
命题人：上饶县中 杨学武 萍乡中学 杨井根
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．已知 ，则复数 的模等于（ ）
A. B. C. D.
2．已知 是实数集，集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
3．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ ）
A.0 B.
C. D.
4．某几何体的三视图（单位：m）如图所示，则其表面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．若圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 ，则（ ）
A．曲线C可为椭圆，也可为双曲线 B．曲线C一定是双曲线
C．曲线C一定是椭圆 D．这样曲线C不存在
6．设等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则 中最大项为（ ）
A. B. C. D.
7．函数 的导函数为 ，对任意的 ，都有 成立，则（ ）
A. B.
C. D. 的大小不确定
8．已知点 是不等式组 表示的平面区域内的一个动点，且目标函数
的最大值为7，最小值为1，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9．正方体 的棱长为2， 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）， 为正方体表面上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10．一高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数的大致图像可能是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）
11．已知向量 ，满足 ，且 ，则 的夹角为 。
12．设 ，则多项式 的常数项是 。
13.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为 。
14．定义在R上的函数 满足
且当 时，有 ，则 _____ _。
三、选做题（考生只能从中选做一题，两题都做的，只记前一题的分，本小题5分）
15．（1）（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ，曲线 ，若两曲线有公共点，则 的取值范围是 。
（2）（不等式选做题）若不等式 对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是 。
四、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知向量 ，
，函数 ，且函数 的最小正周期为 。
（1）求 的值；
（2）设 的三边 满足： ，且边 所对的角为 ，若方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围。
17．（本小题满分12分）已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）设函数 ， 是函数 的导函数，令
，求数列 的通项公式，并研究其单调性。
18. （本小题满分12分）甲、乙两名射击运动员参加射击选拔训练，在相同的条件下，两人5次训练的成绩如下表（单位：环）
次数 1 2 3 4 5
甲 6.5 10.2 10.5 8.6 6.8
乙 10.0 9.5 9.8 9.5 7.0
（1）请画出茎叶图，从稳定性考虑，选派谁更好呢？说明理由（不用计算）。若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩至少有一个低于9.0环的概率；
（2）若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取二次，设抽到10.0环以上（包括10.0环）的次数为 ，求随机变量 的分布列和期望；
（3）经过对甲、乙两人的很多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[6.5，10.5]之间。现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于1.0环的概率。
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB＝3，BC＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点。
（1）证明CD⊥平面POC；
（2）求二面角C—PD—O的平面角的余弦值。
20. （本小题满分13分）设椭圆C1： 的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA 的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2： 与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设M（0， ），N为抛物线C2上的一动点，
过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求 面积的最大值．
21．（本小题满分14分）已知函数 ，其中 .
（1）求 的单调区间；
（2）求证： ＜
江西省2013届八校联考数学试卷（理科）
参 考 答 案
一，选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D B C B D A B
二，填空题（每小题5分，共25分）
11．60° 12． 13.900 14.
三、选做题（考生只能从中选做一题，两题都做的，只记前一题的分，本小题5分）
15.（1） （2）
四，解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）
………………………………… 5分
………………………………… 6分
（2） 中， …………………8分
………………………………… 9分
有两个不同的实数解时
的取值范围是： 。 ………………………………… 12分
17. （1）由 得 …………… 2分
两式相减得 ， …………… 4分
又由已知 ，所以 ，即 是一个首项为5，公比 的等比数列，所以 …………… 6分
（1）因为 ，所以
……………8分
令 则
所以，作差得 所以
即 ……………
而 所以，作差得
所以 是单调递增数列。 …………… 12分
18．（1）茎叶图如下：
甲 乙
8 5 6
7 0
6 8
9 5 5 8
5 2 1 0 0
从图上看，乙更集中，选派乙更好， ………………………………… 2分
从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，则至少有一个低于9.0
环的概率为 ………………………………… 4分
（2）由题可知：随机变量 可能为：
X 0 1 2 3
P 0.18 0.48 0.30 0.04
∴分布列为：
……………… 6分
期望为：EX=1.2 ……………… 8分
（3）设甲的成绩为 ，乙的成绩为 ，
则 即： ……………… 10分
则 ……………… 12分
19.（1） ,O是AB的中点， .
平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO 平面PAB,
PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD. ①
∵AD∥BC,∠ABC＝90°,∠BAD＝90°.
在Rt△OBC中，OB=BC=1,
在Rt△OAD中，OA=1,AD=3,OD= .
过C作CE⊥AD，垂足为E,易得DE=CE=2,CD= ,
即CD⊥OC。② 由①②得，CD⊥平面POC。 …………4分
(2)取CD的中点F，连接OF，则OF⊥平面PAB.建立如图的空间直角坐标系O—xyz。
易知 ,则P（0，0， ），D（—1，3，0），C（1，1，0）， ,
………… 7分
设平面OPD的法向量为 ，则 取 =（3，1，0）
设平面PCD的法向量为 ，则 10分
取 =（2，2， ）。 …………11分
依题意二面角O—PD—C的余弦值为 。 …………12分
20．（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得 即 ，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．
所以 ．于是椭圆C1的方程为： ．…………2分
（2）设N（ ），由于 知直线PQ的方程为：
． 即 ．……………………………4分
代入椭圆方程整理得： ,
= ,
, ,
故
．………………………………6分
设点M到直线PQ的距离为d，则 ．……………7分
所以， 的面积S
…………12分
当 时取到“=”，经检验此时 ，满足题意．
综上可知， 的面积的最大值为 ．…………………………13分
21．（1） ……………… 2分
若 ，则 的增区间是： ，
减区间是： 和 ……………3分
若 ，则 的减区间是 ，无增区间 ……………… 4分
若 ，则 的增区间： ，减区间是 …… 5分若 ， 的减区间是 ，增区间是 ……………… 6分
（2）由（1）知：当 时， ，即
即： 恒成立，………… （8分）
，当且仅当 时取“=”
……………… （10分）
转化为证明： 用数学归纳法证明如下：
当 时，左端 右端成立，
假设当 时，有 成立
则当 时，
对 均成立
即有： 恒成立 …………（14分）
