2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷
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2013年福州市高中毕业班质量检查
数学(理科)试卷
（完卷时间120分钟；满分150分）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1. 是虚数单位，复数 ， ．若 的虚部为 ，则 等于
A．2 B．-2 C．1 D．-1
2. 要得到函数 的图象，只须将 的图象上的所有的点
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
3. 根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是
A.
B.
C.
D.
４.已知函数 ，则“ ”是“函数 在 上为增函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知命题“直线 与平面 有公共点”是真命题，那么下列命题：
①直线 上的点都在平面 内；
②直线 上有些点不在平面 内；
③平面 内任意一条直线都不与直线 平行．
其中真命题的个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
6.已知等比数列 的公比 ，且 成等差数列，则 的前8项和为
A.127 B.255 C.511 D.1023
7.设 则 中奇数的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
8.已知点 是△ 所在平面内的一点，边AB的中点为D，若 ，其中 ，则点 一定在
A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AC边所在的直线上 D．△ 的内部
9.对于任意给定的实数 ，直线 与双曲线 ， 最多有一个交点，则双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
10.对于函数 与 和区间D，如果存在 ，使 ，则称 是函数 与 在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：
① ， ； ② ， ；
③ ， ； ④ ， ，
则在区间 上的存在唯一“友好点”的是
A．①② B．③④ C． ②③ D．①④
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 .
12.已知函数 ，则 的值等于 ．
13. 已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入 ，输出 ，则在图中“？”处可填入的算法语句是 （写出以下所有满足条件的序号）．
① ；
② ；
③ ；
④ ．
14.在区间 上任取两个数 ， ，能使函数 在区间 内有零点的概率等于________.
15.设数列 是由集合 ，且 ， 中所有的数从小到大排列成的数列，即 ， ， ， ，a5＝30，a6＝36，…，若 ＝ ，且 ， ，则 的值等于____________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分13分）
已知平面向量a ，b= ，定义函数
（Ⅰ）求函数 的值域；
（Ⅱ）若函数 图象上的两点 、 的横坐标分别为 和 ， 为坐标原点，求△ 的面积．
17.(本小题满分13分)
某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：
（Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？
（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 ）
18.(本小题满分13分)
如图，已知多面体 的底面 是边长为 的正方形， 底面 ， ，且 ．
（Ⅰ）求多面体 的体积；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
19. (本小题满分13分)
已知 ，曲线 上任意一点 分别与点 、 连线的斜率的乘积为 ．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，若曲线 与直线 没有公共点，求证： ．
20.(本小题满分14分)
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，讨论函数 在区间 上的单调性；
（Ⅲ）证明不等式 对任意 成立．
21.本题有(1)．(2)．(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知线性变换 ： 对应的矩阵为 ，向量β ．
（Ⅰ ）求矩阵 的逆矩阵 ；
（Ⅱ ）若向量α在 作用下变为向量β，求向量α．
(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 ．现以极点 为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆 上的动点 的直角坐标为 ，求 的最大值，并写出 取得最大值时点P的直角坐标．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式 的解集为 ．
（Ⅰ ）求 的值；
（Ⅱ ）若 ，求 的取值范围．
2013年福州市高中毕业班质量检查
数学（理科）试卷参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．
1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.D 10.D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．
11． 12．3 13．②③④ 14． 15．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．
解：（Ⅰ）依题意得 …………ks5u……………………1分
…………………………………………………………………3分
所以函数 的值域为 ．………………………………………………………5分
（Ⅱ）方法一 由（Ⅰ）知，
， ，………………………………6分
从而 .………………………………………………7分
∴ ，
……………………………………………9分
根据余弦定理得
.
∴ ，…………………………………………………………………10分
△ 的面积为 .…………13分
方法二 同方法一得： .…………………………………………7分
则 . ………………………………………………8分
.……………………………………………10分
所以 ，
△ 的面积为 .……………13分
方法三 同方法一得： .…………………………………………7分
直线 的方程为 ，即 . …………… …………………8分
点 到直线 的距离为 . ……………………10分
又因为 ，……………………………………ks5u…………………11分
所以△ 的面积为 .…………………13分
17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．
解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人．
X的所有可能取值为 ．……………………………………………………1分
所以 ， ， ．…4分
故 的分布列为
…………………………………………5分
∴ ． ……6分
（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得 列联表如下：
优秀 非优秀 合计
男 6 1 7
女 1 4 5
合计 7 5 12
…………7分
的观测值 3.841，……………………………9分
所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分
（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分
由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分
18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．
（Ⅰ）如图，连接ED，
∵ 底面 且 ，∴ 底面 ,
∴ ,
∵ ,
∴ 面 , ----------------1分
∴ , --------2分
, -------------3分
∴多面体 的体积
．--------------5分
（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为 轴，AD所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),
所以 ------7分
设平面ECF的法向量为 ，
则 得： ks5u…
取y=1,得平面 的一个法向量为 ------9分
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ----11分
（Ⅲ）取线段CD的中点 ；连接 ，直线 即为所求． ---------------12分
图上有正确的作图痕迹………………………………13分
19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．
解：（Ⅰ）设曲线 上任意一点 的坐标为 ．
依题意 ，且 ，………………３分
整理得 ．所以，曲线 的方程为： ， ．………5分
（Ⅱ）由 得 ，
， ……7分
由已知条件可知 ， ，所以
，
从而 ， 即 ． ………………13分
20．（本小题满分14分）
本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．
解： ．
（Ⅰ）当 时， ，切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ． ……3分
（Ⅱ）当 时，因为 ，所以只要考查 的符号．
由 ，得 ，
当 时， ，从而 ， 在区间 上单调递增；
当 时，由 解得 ． ……6分
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
函数 在区间 单调递减，在区间 上单调递增． ……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时， 在区间 上单调递增；
所以 ，ks5u…
即 对任意 成立． ……11分
取 ， ，
得 ，即 ， ．……13分
将上述n个不等式求和,得到: ，
即不等式 对任意 成立． ……14分
21．（1）选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．
解：（Ⅰ）依题意 ，所以 ，
所以 ． ----------3分
（Ⅱ）由 ，得 ． ----------7分
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．
解：（Ⅰ）由 ，得 ，
所以圆 的直角坐标方程为 ，
即 ．………………………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C的参数方程为 （ 为参数）.
所以 ， ………………………5分
因此当 ， 时， 取得最大值为 ，
且当 取得最大值时点P的直角坐标为 ．……………7分
（3）选修4－5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．
解：（Ⅰ）依题意，当 时不等式成立，所以 ，解得 ，
经检验， 符合题意． ---------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．根据柯西不等式，
得 ，-----------------5分
所以 ，
当且仅当 时，取得最大值 ， 时，取得最小值 ，
因此 的取值范围是 ． ks5u…-------------7分
