2013年宿州市高三数学（理科）模拟考试
参考答案
宿州市2013届高三第三次教学质量检测参考答案——数学（理科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D B D C A A D
二、填空题
11、 12、 13、 14、 15、 ① ③ ⑤
三、解答题
16、（Ⅰ） ，-----------------------------2分
----------------------------4分
单调增区间为 --------------------6分
（Ⅱ） 由（Ⅰ） ，
而 ，故 ， --------------8分
由余弦定理知： ，
解得： ----------------------------12分
17、（Ⅰ） 的可能取值为0、1、2、3
-----4分
分布列为
--------------------------（6分）
（Ⅱ）基本事件的总数为 ……………………（7分）
满足条件 的有如下各种情况：
①满足 时的事件数为： ……………………（10分）
②满足 时的事件数为： ……………………（11分）
所以
18、(Ⅰ) an=2n-1 ……………………………………………………………………………………2分
时， 得b1=1
时
（2）式-（1）式得 即
∴ 是以 为首项，2为公比的等比数列；………………………………………6分
(Ⅱ)法一：
①
②
①-② 得
得 …………………………………………12分
法二：
所以
………………………………………………12分
19、连接AF，由 知， 为正方形
且 ，
因为面 面 ，所以 ----------3分
（I）由上知
又因为ABCD为矩形，所以 ,
平面ABCD 平面ABFE,且 平面ABCD 平面ABEF ,
又 故 ； -------------7分
(Ⅱ) 以 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则
记面 的法向量 ，记面 的法向量
由
同理求得
----------------------12分
20、解： ．．．．．．．．．．．．．．．．1分
（Ⅰ）因为 是函数 的极值点，所以 ，解得 ，当 时 在 和 上单调递增；在 单调递减，所以 是函数 极小值点，即 符合条件. ．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）令 ，对称轴 ，判别式
i）当 时， 在 上恒成立，故 在 上恒成立，即函数 在 单调递减.
ii）当 且 时， ，令 得， ，且 ，所以当 时， ；当 时 ，所以当 和 时， ；当 时 ，故当 时，函数 在 和 单调递增；在 单调递减；
iii）当 且 时，即 时， 在 上恒成立，所以 ，故 时，函数 在 单调递增.
综上所述：i）当 时，函数 在 单调递减；
ii）当 时，函数 在 和 单调递增；在 单调递减；
iii）当 时，函数 在 单调递增. ．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时 对 恒成立.令 ,则
，化简得
即不等式成立. ．．．．．．．．．．．．．．．．13分
21、解：（Ⅰ）连接 ，因为 ， ，所以 ，
即 ，故椭圆的离心率 ．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 得 于是 , ，
的外接圆圆心为 ），半径 ．．．．．．．．．．．．5分
到直线 的最大距离等于 ，所以圆心到直线的距离为 ，
所以 ，解得 ．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所求椭圆方程为 . ．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（III）由题意知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为：
由 代入消 得：
由 ，得 ，化简得 ，设 ，则 10分
容易知
代入化简得: ,解得 （舍）， ．．．．．．．．．．．．．．13分
故直线 是过定点 ．．．．．．．．．．．．．．14分
