2015年浙江省普通高中学业水平考试《数学》试卷
一、选择题(共25小题，1～15每小题2分，16～25每小题3分，共60分．每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1. 设集合M＝{0，1，2}，则( )
A. 1∈M B. 2∉M C. 3∈M D. {0}∈M
2. 函数y＝x－1的定义域是( )
A. [0，＋∞) B. [1，＋∞) C. (－∞，0] D. (－∞，1]
3. 若关于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，则实数m等于( )
A. －1 B. －2 C. 1 D. 2
4. 若对任意的实数k，直线y－2＝k(x＋1)恒经过定点M，则M的坐标是( )
A. (1，2) B. (1，－2) C. (－1，2) D. (－1，－2)
5. 与－π6角终边相同的角是( )
A. π6 B. π3 C. 11π6 D. 4π3
6. 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是( )
,(第6题))
7. 以点(0，1)为圆心，2为半径的圆的方程是( )
A. x2＋(y－1)2＝2 B. (x－1)2＋y2＝2
C. x2＋(y－1)2＝4 D. (x－1)2＋y2＝4
8. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an(n∈N*)，则a4等于( )
A. 9 B. 10 C. 27 D. 81
9. 函数y＝x的图象可能是( )
10. 设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 设双曲线C：x2a2－y23＝1(a>0)的一个顶点坐标为(2，0)，则双曲线C 的方程是( )
A. x216－y23＝1 B. x212－y23＝1
C. x28－y23＝1 D. x24－y23＝1
12. 若函数fx＝sin xcos x，x∈R，则函数fx的最小值为( )
A. －14 B. －12 C. －32 D. －1
13. 若函数fx＝x＋ax2＋1a∈R是奇函数，则a的值为( )
A. 1 B. 0 C. －1 D. ±1
14. 在空间中，设α，β表示平面，m，n表示直线，则下列命题正确的是( )
A. 若m∥n，n⊥α，则m⊥α B. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
C. 若m上有无数个点不在α内，则m∥α D. 若m∥α，那么m与α内的任何直线平行
15. 在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则BC的长为( )
A. 19 B. 13 C. 3 D. 7
16. 下列不等式成立的是( )
A. 1.22>1.23 B. 1.2－3<1.2－2
C. log1.22>log1.23 D. log0.22<log0.23
17. 设x0为方程2x＋x＝8的解，若x0∈n，n＋1n∈N*，则n的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
18. 下列命题中，正确的是( )
A. ∃x0∈R，x02<0 B. ∀x∈R，x2≤0
C. ∃x0∈Z，x02＝1 D. ∀x∈Z，x2≥1
19. 若实数x，y满足不等式组x－y≥0，x＋y－2≤0，则2y－x的最大值是( )
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
(第20题)
20. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
21. 研究发现，某公司年初三个月的月产值y(万元)与月份n近似地满足函数关系式y＝an2＋bn＋c(如n＝1表示1月份)．已知1月份的产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元，由此可预测4月份的产值为( )
A. 35万元 B. 37万元 C. 56万元 D. 79万元
22. 设数列{an}，an2n∈N*都是等差数列．若a1＝2，则a22＋a33＋a44＋a55等于( )
A. 60 B. 62 C. 63 D. 66
23. 设椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1a>b>0的焦点为F1，F2.若椭圆Γ上存在点P，使△PF1F2是以F1P为底边的等腰三角形，则椭圆Γ的离心率的取值范围是( )
A. 0，12 B. 0，13 C. 12，1 D. 13，1
24. 设函数fx＝xx－1.给出下列两个命题：
①存在x0∈1，＋∞，使得fx0<2；②若fa＝fba≠b，则a＋b>4.其中判断正确的是( )
A. ①真，②真 B. ①真，②假
C. ①假，②真 D. ①假，②假
(第25题)
25. 如图，在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝x，D为斜边AB的中点．将△BCD沿直线CD翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是( )
A. (0，3] B. (22，2]
C. (3，23] D. (2，4]
二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)
26. 设函数f(x)＝x2，x≤2，3x－2，x>2，则f(3)的值为________．
27. 若球O的体积为36π cm3，则它的半径等于________cm.
28. 设圆C：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＝2，则圆心C到直线l的距离等于________．
29. 设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB＝3，则AP→•AB→的取值范围是________．
30. 记avea，b，c表示实数a，b，c的平均数，maxa，b，c表示实数a，b，c的最大值，设A＝ave{－12x＋2，x，12x＋1}，M＝max{－12x＋2，x，12x＋1}，若M＝3A－1，则x的取值范围是________．
三、解答题(共4小题，共30分)
31. (本题7分)已知sin α＝35，0<α<π2，求cos α和sin(α＋ )的值．
32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)
[第32题(A)]
(A)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直底面ABCD，线段PD的中点为F.
(1)求证：EF∥平面PBC；
(2)求证：BD⊥PC.
(B)如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，点D，E分别为线段PB，AB的中点．
(1)求证：AC⊥平面PBC；
(2)设二面角D－CE－B的平面角为θ，若PC＝2，BC＝2，AC＝23，求cos θ的值．
[第32题(B)]
33. (本题8分)如图，设直线l：y＝kx＋2(k∈R)与抛物线C：y＝x2相交于P，Q两点，其中Q点在第一象限．
(第33题)
(1)若点M是线段PQ的中点，求点M到x轴距离的最小值；
(2)当k>0时，过点Q作y轴的垂线交抛物线C于点R，若PQ→•PR→＝0，求直线l的方程．
34. (本题8分)设函数fx＝x2－ax＋b，a，b∈R.
(1)已知fx在区间－∞，1上单调递减，求a的取值范围；
(2)存在实数a，使得当x∈0，b时，2≤fx≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．
13 2014年浙江省普通高中学业水平考试
《数学》试卷
1. A 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A 7. C
8. C 9. A 10. A 11. D 12. B 13. B 14. A
15. D 16. B 17. B 18. C 19. C 20. B
21. B 22. A 23. D 24. C 25. A
26. 7 27. 3 28. 2 29. 32－3，32＋3
30. x≥2或x＝－4
31. 解：由sin2α＋cos2α＝1，及0<α<π2，sin α＝35，得cos α＝1－sin2α＝45.所以sinα＋π4＝sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝35×22＋45×22＝7210.
[第32题(A)]
32. 证明：(A)(1)∵四边形ABCD是菱形，∴E为线段BD的中点．又∵点F为线段PD的中点，∴EF∥PB.又∵PB⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC. (2)∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，BD⊂底面ABCD，由四边形ABCD菱形，可得BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC.又∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC.
[第32题(B)]
(B)(1)∵PC⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥PC.又∵AC⊥PB，PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC. (2)如图，以C为原点，CA，CB，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A23，0，0，B(0，2，0)，P0，0，2.又∵点D，E分别为线段PB，AB的中点，∴D(0，1，1)，E3，1，0，则CD→＝0，1，1，CE→＝3，1，0.设平面CDE的法向量为n1＝x，y，z，由n1•CD→＝0n1•CE→＝0，得y＋z＝0，3x＋y＝0，取n1＝1，－3，3，又∵平面CBE的法向量n2＝0，0，1，∴cos θ＝n1•n2n1n2＝217.
33. 解：(1)设点Px1，y1，Qx2，y2，MxM，yM，由方程组y＝x2，y＝kx＋2，得x2－kx－2＝0，则x1x2＝－2，∴y1y2＝x12x22＝2，∴yM＝12y1＋y2≥y1y2＝2，当且仅当y1＝y2，即k＝0时等号成立，∴点M到x轴距离的最小值是2.(注：由对称性直接得出结论也可)
(2)Px1，x12，Qx2，x22，M(－x2，x22)，直线PR的斜率为x22－x12－x2－x1＝x1－x2.又∵PQ→•PR→＝0，∴PQ⊥PR，即直线PR的斜率为－1k，∴x2－x1＝1k.由(1)得x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴1k2＝x1＋x22－4x1x2，即k4＋42k2－1＝0，解得k＝±2－1，又∵k>0，∴k＝2－1，∴直线l的方程为y＝2－1x＋2.
34. 解：(1)由题意，得a2≥1，所以a≥2. (2)显然b>0.f(x)＝x－a22＋b－a24.①当a2<0时，只需满足f（0）＝b≥2，f（b）＝b2－ab＋b≤6.由a<0及b≥2，得f(b)>b2＋b≥6，与f(b)≤6矛盾． ②当a2＞b时，只需满足f（0）＝b≤6，f（b）＝b2－ab＋b≥2.由a＞2b＞0，得－ab＜－2b2，∴f(b)<b2－2b2＋b＝－b－122＋14≤14，与f(b)≥2矛盾． ③当0≤a2≤b时，只需满足f（0）＝b≤6，①fa2＝b－a24≥2，②f（b）＝b－a22＋b－a24≤6.③由①，②得2≤b≤6.由②，③得b－a22＋2≤6，又0≤a2≤b，∴0≤b－a2≤2，即0≤b－2≤a2，再结合②得(b－2)2≤a24≤b－2，④∴2≤b≤3.当b＝3时，由④得a＝2，此时满足①，②，③及0≤a2≤b.综上所述，b的最大值为3，此时a＝2.
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