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安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考
数学（文）试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则 等于( )
A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}
2、已知复数 且 ，则复数 等于( )
A. B. C. D.
3、如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )
A． B．
C． D．
4、已知定义在R上的函数 ，则命题p:“ ”是命题q:“ 不是偶函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5、已知命题 : ，使得 ，则命题 是( )
A. ，使得 B. ，都有
C. ，都有 或 D. ，都有 或
6、一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．9 B．10 C．11 D．
7、将函数 的图象向左平移 个单位，若所得的图象与原图象重合，则 的值不可能等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
8、已知A(3,0),B(0,4),若圆M: 上有且仅有两点C使 面积等于 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、已知实数 、 满足条件： ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、已知点P在以 为圆心、半径为1的扇形区域AOB（含边界）内移动， ,E、F分别是OA、OB的中点，若 其中 ,则 的最大值是( )
A. 4 B. 2 C. D. 8
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分。
11、角 终边上一点M（ ， ），且 ，则 = __ ；
12、若抛物线 的焦点坐标为(0,1)，则 = __ ；
13、已知函数 的零点在区间 上， ，则 __ ；
14、在 中， ， 是 内一点，且满足 ，则 = __ ；
15、给出下列四个命题：
① 函数 的图象关于点 对称；
② 若 ，则 ；
③ 存在唯一的实数 ，使 ；
④ 已知 为双曲线 上一点， 、 分别为双曲线的左右焦点，且 ，则 或 。
其中正确命题的序号是 __ ；
三、解答题： 本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、（本小题12分）已知函数 为偶函数，且函数 图象的两相邻对称轴间的距离为
（1）求函数 的解析式；
（2）已知△ABC中角 A、B、C所对的边分别是 ，且 ， ，求 的值.
17、（本小题12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.
18、（本小题12分）已知 为数列{ }的前 项和,且2 , N
（1）求数列{ }的通项公式;
（2）若数列 满足 ， ,求 的前 项和
19、（本小题12分）如图，在四棱锥 中，
底面 ， , , ,
, 是 的中点。
（1）求证： ;
（2）在线段 上是否存在点 ，使 ?若存在，指出点 的位置，并证明；若不存在，请说明理由。
20、（本小题13分）已知椭圆C: 的离心率为 ，且椭圆C上的点到点 的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程。
（2）已知过点T（0，2）的直线 与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点 ，使 ，求直线 的斜率 的取值范围.
21、（本小题14分）已知函数 在点 处的切线与直线 垂直，
（1）求实数 的值和函数 的单调区间；
（2）若 ， ，数列 ： ，求实数 的取值范围，使对任意 ，不等式 恒成立
安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考
数学（文）答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B A D C B D C A
二、填空题：
11、 12、 13、9 14、-4 15、②③
三、解答题：
16、（本小题12分）
解：（1）由已知函数 周期为 ••••••••••••••••••••••••••••2分
又当 时 ， ••••••••••••••••••••••••••••5分
所以 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••6分
（2） ，
又由于 ， •••••••••••••••••••••••••••8分
•••••••••10分
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••12分
17、（本小题12分）
解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有 人•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••2分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 ， ••••••••••••••••••••••4分
（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
•••••••••••••••••••••••••••7分
（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为
{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁} ,有6个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则 . 12分
18、（本小题12分）
解: (1) ••••••••••••1分
•••4分
•••••••••••6分
（2） •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••7分
，
••••••••••••••••••••••••••••9分
，又 符合该式
所以 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••10分
•••••••••••••••••••••••••••••••••12分
19、（本小题12分）
解：（1） 底面 AB， CD又 所以 面PAD 即 PD•••••2分
又 所以 面PAC 即 AE
, 是 的中点。
PC 面PCD 即 PD•••••••••5分
•••••••••••••••••••••••••••••6分
(2) 在底面 中过点C作 交AD与点M,在三角形PAD中过点M作 交PD于点F，连接CF
••••••••••••••••••••••••••••••••••9分
此时 在底面ABCD中， ,故DM
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••11分
所以在线段 上存在点 满足 ，使 ••••••••••••••••••12分
20、（本小题13分）
解：（1） ，设椭圆的方程为 ，设 为椭圆C上任意一点， ••••••••••••••••••••••••••2分
由于 ，当 时，此时 取得最大值 ，
当 时，此时 取得最大值 ，不符合题意。•••••••••••••••••••5分
故所求椭圆方程为 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••6分
（2）由已知，以AB为直径的圆与X轴有公共点，•••••••••••••••••••••••••7分
设 ，AB中点
直线 ： 代入 得 ，
，••••••••••••••••••••••••••••8分
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••10分
解得： ，即 ••••••••12分
所以，所求直线 的斜率 的取值范围是 •••••••••••••13分
21、（本小题14分）
解：（1）由已知 ， ， ••••••••••••••••••2分
由 解得 ，由 解得 ••••••••••5分
所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ••••••••••••6分
（2）由已知
•••••••••••••••••8分
由（1）知函数 在区间 上单调递减
由于 ， 即 ••••11分
，解得 且 •••••••••13分
所以实数 的取值范围是 ••••••••••••••••••••••••••••••••14
