汕头市潮南区2014-2015学年度高三模拟考试
数学（理）试卷
参考公式：锥体的体积公式： ,其中 是底面面积， 是高．
柱体的体积公式： ,其中 是底面面积， 是高．
圆锥的侧面积公式： ，其中 是圆锥的底面半径， 是母线长．
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0．OlO 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84I 5.024 6.635 7.879 10.828
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.若复数 ，则 在复平面上对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知集合 ， ,且 ,则
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由上表算得 ，因此得到的正确结论是
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
4. —个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
5. “ ”是“一元二次不等式 的解集为R”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 设F是双曲线 的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF| +|PA|的最小值为
A. 5 B. C. 7 D. 9
7. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在
其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂
一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为
A．84 B．72 C.64 D．56
8. 已知f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，令f1（x）=g（f（x）），fn+1（x）=g（fn（x）），则方程f2015（x）=1解的个数为（ ）
A． 2014 B． 2015 C． 2016 D． 2017
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
(一）必做题(9〜13题）
9. 计算 .]
10.若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .
11. 等差数列{an}前n项和为Sn，公差d<0，若S20>0,S21<0,，当Sn取得最大值时，n的值为_______
12. 给出下列六种图象变换方法：
①图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变；
②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
③图象向右平移 个单位；④图象向左平移 个单位；
⑤图象向右平移 个单位；⑥图象向左平移 个单位.
请用上述变换中的两种变换，将函数 的图象变换到函数 的图象，那么这两种变换的序号依次是_______
(填上一种你认为正确的答案即可）.
13. 运行如图所示框图，坐标满足不等式组 的点共有____个.
(二）选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ，点 是直线 上的一个动点，过点 作曲线 的切线，切点为 ，则 的最小值为 。
15．（平面几何选做题）
已知 为半圆 的直径， ， 为半圆上一点，
过点 作半圆的切线 ，过点 作 于 ，交半
圆 于点 ， ，则 的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16. （本题满分12分）
在平面直角坐标系 中，以 轴为始边,锐角 的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为 ，锐角 的终边与射线x-7y=0（ ）重合．
（1）求 的值；（2） 求 的值．
17．(本题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为 ，求 的分布列及数学期望 .
18.（本小题满分14分）
如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直．
∥ ， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）线段 上是否存在点 ，使 // 平面 ？
若存在，求出 ；若不存在，说明理由．
19. （本小题满分14分）
在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列， ．
（1）分别计算 ， 和 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式（将 用 表示）；
（3）设数列 的前 项和为 ，证明： ， ．
20. （本小题满分14分）
如图，椭圆 过点 ，其左、右焦点分别为 ，离心率 ， 是直线x=4上的两个动点，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的最小值；
（3）以 为直径的圆 是否过定点？请证明你的结论．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， 为实数）有极值，且在 处的切线与直线 平行.[]
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数 的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数 ，试判断函数 在 上的符号，
并证明： 。
汕头市潮南区2014-2015学年度高三模拟考试
数学（理）试卷
、选择题： A D C C B D A D
8、【分析】： 利用特殊值法分别求出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）的解的个数，从而找到规律，进而求出f2015（x）的解的个数．
【解析】： 解：∵f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，
∴n=0时：f1（x）=g（x2）=|x2﹣1|，
令|x2﹣1|=1，方程f1（x）有2=0+2个解，
n=1时：f2（x）=g（|x2﹣1|）=||x2﹣1|﹣1|，
令||x2﹣1|﹣1|=1，方程f2（x）有4=2+2个解，
n=2时：f3（x）=|||x2﹣1|﹣1|﹣1|，
令|||x2﹣1|﹣1|﹣1|=1，方程f3（x）有5=3+2个解，
n=3时：f4（x）=||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|，
令||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=1，方程f4（x）有6=4+2个解，
…，
n=2014时：f2015（x）有2017=2015+2个解，
故选：D．
二、填空题：9. 10. . 11. 10 12 ④②或②⑥ 13. _2__ 14． 15．2
三、解答题16. （本题满分12分）
在平面直角坐标系 中，以 轴为始边,锐角 的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为 ，锐角 的终边与射线x-7y=0（ ）重合．
（1）求 的值；（2） 求 的值．
解：（1）由条件得 ， 为锐角，故 且 ， ………2分
所以 ………………………………………………………………………………3分
因为锐角 的终边与射线x-7y=0（ ）重合，所以 ……………6分
（2） ，
…………………………………………7分
…………8分
， 在 上单调递增，
且 ，∴ ，……………10分
同理 ，∴ ……………11分
从而 ………………12分
17．(本题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为 ，求 的分布列及数学期望 .
解：（1）茎叶图如下：
………………2分
学生乙成绩中位数为84，…………4分
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
………………5分
=35.5
=41……………………7分
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适……………………8分
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则 ……………………9分
随机变量 的可能取值为0，1，2，3，
且 服从B（ ） k=0，1，2，3
0 1 2 3
P
的分布列为：
（或 ） 12分
18.（本小题满分14分）
如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直．
∥ ， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）线段 上是否存在点 ，使 // 平面 ？
若存在，求出 ；若不存在，说明理由．
解：（1）证明：取 中点 ，连结 ， ．
因为 ，所以 ．
因为四边形 为直角梯形， ， ，
所以四边形 为正方形，所以 ．
所以 平面 ． 所以 ． ………………4分
（2）解法1：因为平面 平面 ，且
所以BC⊥平面
则 即为直线 与平面 所成的角
设BC=a，则AB=2a， ，所以
则直角三角形CBE中，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ………………9分
解法2：因为平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ，所以 ．
由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ，
则 ．
所以 ，平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ………9分
（3）解：存在点 ，且 时，有 // 平面 ．
证明如下：由 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，则有
所以 取 ，得 ．
因为 ，且 平面 ，所以 // 平面 ．
即点 满足 时，有 // 平面 ． ………………14分
19. （本小题满分14分）
在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列， ．
（1）分别计算 ， 和 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式（将 用 表示）；
（3）设数列 的前 项和为 ，证明： ， ．
解：（1）由已知，得 ， ， ， . ……2分
（2）（证法1） ， ， ，……；
， ， ，…….∴猜想 , ， ，……3分
以下用数学归纳法证明之．
①当 时， ， ，猜想成立；………………………………4分
②假设 时，猜想成立，即 , ，那么
,…………………5分
.…………………6分
∴ 时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的 ，猜想成立．
∴当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ．
即数列 的通项公式为 ． …………………8分
(3)（解法2）证明：
当 为奇数时， …………………10分
当 为偶数时，． …………………12分
综上，
……………………………………………………14分
（解法2）由（2），得 ．
以下用数学归纳法证明 ， ．
①当 时， ；
当 时， ．∴ 时，不等式成立．
②假设 时，不等式成立，即 ，
那么，当 为奇数时，
；
当 为偶数时，
．∴ 时，不等式也成立．
综上所述：
20. （本小题满分14分）
如图，椭圆 过点 ，其左、右焦点分别为 ，离心率 ， 是直线x=4上的两个动点，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的最小值；
（3）以 为直径的圆 是否过定点？请证明你的结论．
解：（1） ，且过点 ，
解得 椭圆方程为 。 ………………………………………4分
设点 则 ，
， 又 ，
的最小值为 ． …………………………………………………………………8分
圆心 的坐标为 ，半径 .
圆 的方程为 ，……………………………………………………10分
整理得： .
， ………………………………………………12分
令 ，得 ， . 圆 过定点 .……………14分
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， 为实数）有极值，且在 处的切线与直线 平行.
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数 的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数 ，试判断函数 在 上的符号，
并证明： 。
解：（Ⅰ）
由题意
① …………………………………………………………（1分）
②
由①、②可得，
故实数a的取值范围是 …………………………………（3分 ）
（Ⅱ）存在 ………………………………………（5分）
由（1）可知 ，
，且
+ 0 － 0 +
单调增 极大值 单调减 极小值 单调增
，
.……………………………………………………（6分）
……………………………………（7分）
的极小值为1.………………………………（8分）
（Ⅲ）由
即
故，
则 在 上是增函数，故 ，
所以， 在 上恒为正。.………………………………（10分）
（注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）
当 时， ，设 ，则
即， .………………………………（12分）
上式分别取 的值为1、2、3、……、 累加得：
，（ ）
，（ ）
，（ ）
，（ ）
即， ，（ ）
又当 时， ，
故 ，当且仅当 时取等号。.……………………（14分）
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