2013三明高三市质检数学文科试题及答案
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2013年三明市普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据 ，…， 的标准差 锥体体积公式
其中 为样本平均数 其中 为底面面积， 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
其中 为底面面积， 为高 其中 为球的半径
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若集合 ＝ ， ＝ ，则 等于
A． B．
C． D．
2．已知 ， ， ，若 与 共线，则 等于
A．5 B．1
C． D．
3．输入 时，运行如图所示的程序，输出的 值为
A．4 B．5
C．7 D．9
4．设函数 ，若从区间 内随机选取一个实数 ,则所选取的实数 满足 的概率为
A． B． C． D．
5.右图是某空间几何体的直观图，则该几何体的侧视图是
6．若函数 的定义域为 ，那么“ ， ”是“ 为奇函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知双曲线 的一条渐近线为 ，且右焦点与抛物线 的焦点重合，则常数 的值为
A． B． C． D．
8．若直线 与圆 相切，则 的值是
A．1， B．2， C．1 D．
9． 在△ 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则△ 的面积 等于
A．10 B． C．20 D．
10．已知甲、乙两种不同品牌的PVC管材都可截成A、B、C三种规格的成品配件，且每种PVC管同时截得三种规格的成品个数如下表：
A规格成品（个） B规格成品（个） C规格成品（个）
品牌甲（根） 2 1 1
品牌乙（根） 1 1 2
现在至少需要A、B、C三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个，若甲、乙两种PVC管材的价格分别是20元/根、15元/根，则完成以上数量的配件所需的最低成本是
A．70元 B．75元 C．80元 D．95元
11．已知函数 的导函数为 （其中 为自然对数的底数， 为实数）,且 在 上不是单调函数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
12．在透明塑料制成的正方体容器中灌进 体积的水，密封后可以任意摆放，那么容器内水面形状可能是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形．
其中正确的结果是
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
13．已知复数 （其中 是虚数单位），则 _________.
14．若函数 图象的对称中心是 ，则正数 的最小值是______.
15．已知函数 若直线 与函数 的图象有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 .
16．对于二次函数 ，有下列命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 .
其中一定正确的命题是______________.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(I)求数列 的通项公式；
(II)设等比数列 ，若 ，求数列 的前 项和 .
18．（本小题满分12分）
在某次综合素质测试中，共设有40个考室，
每个考室30名考生．在考试结束后，为调
查其测试前的培训辅导情况与测试成绩的
相关性，抽取每个考室中座位号为05的考
生，统计了他们的成绩，得到如图所示的频
率分布直方图．
（Ⅰ）在这个调查采样中，用到的是什么抽
样方法？
（Ⅱ）写出这40个考生成绩的众数、中位数（只写结果）；
（Ⅲ）若从成绩在 的考生中任抽取2人，求成绩在 的考生至少有一人的概率.
19．（本小题满分12分）
已知函数 在一个周期内的部分对应值如下表：
（I）求 的解析式；
（II）设函数 ， ，求 的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）
在空间几何体 中， 平面 ，
平面 平面 ， ， ．
（I）求证： 平面 ；
（II）如果 平面 ，求证： ．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，经过点 的动直线 ，与椭圆 ： （ ）相交于 ， 两点. 当 轴时， ，当 轴时， ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 的中点为 ，且 ，求直线 的方程．
22．（本小题满分14分）
已知函数 在 处取得极值，且 恰好是 的一个零点．
（Ⅰ）求实数 的值，并写出函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 、 分别是曲线 在点 和 （其中 ）处的切线，且 ．
①若 与 的倾斜角互补，求 与 的值；
②若 （其中 是自然对数的底数），求 的取值范围．
2013年三明市普通高中毕业班质量检查
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5．CBCAA 6-10．BDDBC 11-12．CD
二、填空题
13． 14． 15． 16．②③
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由 ，得 ，所以 ． …………………………（2分）
又因为 ，所以公差 ． ………………………………………（4分）
从而 ． ………………………………（6分）
（Ⅱ）由上可得 ， ，所以公比 ， ……………（8分）
从而 ， …………………………（10分）
所以 ． ……………………………（12分）
18．解：（Ⅰ）系统抽样． …………(2分)
（Ⅱ）众数是 ，中位数是 ．……(6分)
（Ⅲ）从图中可知，成绩在 的人数为：
（人），…………(7分)
成绩在 的人数为：
（人）．…………(8分)
设成绩在 的考生为 ，成绩在 的考生为 ，
则所有基本事件有：（ ）, , , , , , , , ,
, , , , , ,共15种， ………………………(10分)
其中成绩在 的考生至少有一人的事件有：
, , , , , , , , , , ,
, , ,共14种．
所以成绩在 的考生至少有一人的概率为 . ……………… 12分
19．解：（Ⅰ）由表格给出的信息可以知道，函数 的周期为 ，
所以 .由 ，且 ，得 ．……4分
所以函数解析式为 （或者 ）． …………6分
（Ⅱ）
， ………………………9分
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 的最大值是2，最小值是 ．……………………………………12分
20．解：（I）如图，取 中点 ，连 ，
由 得 ，
∵平面 ⊥平面 ，
∴ 平面 ， ………………2分
又∵ ⊥平面 ，
∴ ∥ ， …………………………4分
又∵ 平面 ，
∴ ∥平面 ． ………………6分
（Ⅱ）连接 ，则 ．
∵平面 ⊥平面 ，面 ∩面 ，∴ ⊥平面 ．
又∵ ，∴ ∥ ． ………………8分
又由（Ⅰ）知，四边形 是矩形，
∴ ， ． ……………………………………10分
∴ ，
而 ，则 ．……………………12分
21．解法一：（Ⅰ）当 轴时， ，
当 轴时， ，得 ，
解得 ， ．
所以椭圆 的方程为： ．…………5分
（Ⅱ）设直线 ，与方程 联立，得 ．
设 ， ，则 ， ．…①
因为 ，即 ，
所以 ，即 ， ………………………………8分
所以 ，则 ，
将①式代入并整理得： ，解出 ，
此时直线 的方程为： ，即 ， ．……12分
解法二：（Ⅰ）同解法一 ………………………………5分
（Ⅱ）设直线 ： ，与 联立，得 ．…（﹡）
设 ， ，则 ， ．
从而
． …………………8分
设 ，则 ， ．
由 得： ，
整理得 ，即 ，
即 ，解得 ，从而 ．
故所求直线 的方程为： ，
即 和 ． ……………………………………12分
22．解：（Ⅰ） ，
由已知得： 得 ……………………3分
解得 ． ………………………………………………………………4分
当 时， ，当 时， ，
所以函数 单调减区间是 ，增区间是 ． …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
依题意，直线 和 的斜率分别为 和 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．…（*）
① 因为 与 的倾斜角互补，所以 ，
即 ，（**） ……………………………………………8分
由（*）（**），结合 ，解得 ， ，
即 ， ． ……………………………………………10分
② 因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．
又因为 ，当且仅当 时，等号成立．
所以 ． ………………………………………………14分
