2014-201学年度高三潮南区模拟考试
数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共50分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、座号、序号写在答题纸上
2．考生必须在答题纸的指定位置作答，不能答在试题卷上．
3．考试结束后，只交答题纸。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）
1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =（ ）
A.[1,2) B.[1,2] C.( 2,3] D.[2,3]
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 设 的大小关系是( )
A． B． C． D．
4. 已知函数 则 = （ ）
A．0 B．—2 C．—1 D．1
5. 圆 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）
A 6 B 4 C 5 D 1
6. 在等差数列 中， ， ＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
7. 一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是
A． B．12 C． D．8
8.若 ，且函数 在 处有极值，则 的最大值等于（ ）
A.3 B.6 C.9 D.2
9. 已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定．若
为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为( )
A．3 B．4 C． D．
10.已知 分别是定义在R上奇函数与偶函数，若 则 等于 （ ）
A．— B． C．1 D．2
第Ⅱ卷 (填空解答题，共100分)
二、填空题:(本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。)
11.过抛物线 上的点 的切线的倾斜角等于__________.
12. 若向量 则
13.某企业三月中旬生产，A．B．C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计
员制作了如下的统计表格：
产品类别 A B C
产品数量（件） 1300
样本容量（件） 130
由于不小心，表格中A．C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样
本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是 件。
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点 到直线 的距离为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图所示， 与 是 的直径， ， 是 延长线上一点，连 交 于点 ，连 交 于点 ，若 ，则 ．
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
16.（12分）已知：函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和值域；
（2）若函数 的图象过点 ， .求 的值．
17.(12分）某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）分别求第3，4，5组的频率.
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，
求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
18.（14分）正方形 所在平面与三角形 所在平面相交于 ， 平面 ，且 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求凸多面体 的体积．
19.（14分）已知函数 的图象经过坐标原点，且 ，
数列 的前n项和
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 求数列 的前 项和．
20.（14分）已知函数
（I）求 的单调区间；
（II）若 在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。
21.（14分）已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为 和 ，
且满足 • =t (t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，
求t的取值范围．
2014-201学年度高三潮南区模拟考试
数学（文科）试题答案
一、选择题：
ABBCB DBCBB
二、填空题
11题： ；12题： ； 13题：800；14题： ；15题：3
三、解答题
16、解：（1） ---3分
∴函数的最小正周期为 ，值域为 。--------------------------------------5分
（2）解：依题意得： ---------------------------6分
∵ ∴
∴ ＝ -----------------------------------------8分
＝
∵ ＝
∴ ＝ ------------------------------------------------------------------------------12分
17. 解:(Ⅰ) 由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,
第4组的频率为0.04×5=0.2,
第5组的频率为0. 02×5=0.1. …………2分
(Ⅱ) 第3组的人数为0.3×100=30,
第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组: ×6=3; 第4组: ×6=2; 第5组: ×6=1.
所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分
(Ⅲ)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),
(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:
(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 …………12分
18. （1）证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ．
在正方形 中， ，
∵ ，∴ 平面 ．
∵ ，
∴ 平面 ．
（2）解法1：在 △ 中， ， ，
∴ ．
过点 作 于点 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ．
∵ ，
∴ 平面 ．
∵ ，
∴ ．
又正方形 的面积 ，
∴
．
故所求凸多面体 的体积为 ．
解法2：在 △ 中， ， ，
∴ ．
连接 ，则凸多面体 分割为三棱锥
和三棱锥 ．
由（1）知， ．
∴ ．
又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∴点 到平面 的距离为 的长度．
∴ ．
∵ 平面 ，
∴ ．
∴ ．
故所求凸多面体 的体积为 ．
19. 解：(1)∵函数f(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)的图象经过坐标原点，
∴f(0)＝b＝0，∴f(x)＝x2－ax，
由f′(x)＝2x－a，得f′(1)＝2－a＝1，∴a＝1，
∴f(x)＝x2－x，∴Sn＝n2－n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－n－[(n－1)2－(n－1)]＝2n－2，
a1＝S1＝0，∴an＝2n－2(n∈N*)．
(2)由an＋log3n＝log3bn得：bn＝n•32n－2(n∈N*)，
设{bn}的前n项和为Tn，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝30＋2•32＋3•34＋…＋n•32n－2， ①
∴9Tn＝32＋2•34＋3•36＋…＋n•32n， ②
由②－①得：8Tn＝n•32n－(1＋32＋34＋36＋…＋32n－2)
＝n•32n －32n－18，
∴Tn＝n•32n8－32n－164＝8n－132n＋164.
20.解：（I）
当且仅当 时取“=”号， 单调递增。
当 变化时， 、 的变化如下表：
—1
+ 0 — 0 +
极大值
极小值
（II）当 恒成立。
由（I）可知
若 上单调递减，
上不单增
综上，a的取值范围是[0，1]。
21. (１) 设点P坐标为(x,y),依题意得 =t y2=t(x2－4) + =1
轨迹C的方程为 + =1（x≠ 2）.
(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设 =r1， = r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中， =2c=4 ,
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r +r －2r1r2 = r +r + r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－( )2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－ .
所以当－ ≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设 =r1， = r2，则r1+r2=2a=－4 t,
在△F1PF2中， =2c=4 .
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得
4c2=r +r －2r1r2 = r +r + r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－( )2=3a2,
∴16（－1－t）≥－12t t≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是 .
点击下载：广东省汕头市潮南区2015届高三5月高考模拟试题 数学文
