2015届广州市高三数学差缺补漏题（文科）
1．已知向量 ， ，函数 ．
（1）求函数 的最大值，并写出相应 的取值集合；
（2）若 ，且 ，求 的值．
解析： ：（1） ，
∴当 ，即当 时， ；
（2）由（1）得： ，∴ ， 。
∵ ，∴ ，∴ ．
2. 已知函数 ．
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）设 ，且 ，求 的值．
解析：（1） ，
由 得 ，
当 即 时， 递增；
当 即 时， 递减；
当 即 时， 递增．
综上，函数 在区间 、 上递增，在区间 上递减．
（2）由 ，即 ，得 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
则
．
3. 在△ABC中，内角 所对的边分别是 ，且满足：
又 .
（1）求角A的大小；
（2）若 ，求 的面积 ．
解：（1）∵
∴ , 又∵
∴
（2）∵
∴ ，
∴ 即
∴ ,
又∵
∴
4. 设 的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3 +3 -3 =4 bc ．
（1） 求sinA的值；
（2）求 的值．
解：（1）由余弦定理得
又
（2）原式
5．某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示．
性别
科目 男 女
文科 2 5
理科 10 3
（1）若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；
（2）用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？ （参考公式和数据：χ2 （其中 ））
解：（1）设报考文科的2名男生为
（2）χ2 = 4.43>3.841，
可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关.
6．某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄在 的人群随机抽取 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图，并求 的值；
（2）从年龄在 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在 的概率.
解析：（1）第二组的频率为 ，∴高为 ，补全频率分布直方图如下
第一组的人数为 ，频率为 ，∴
由题可知，第二组的频率为
∴第二组的人数为 ，∴
第四组的频率为 ，∴第四组的人数为
∴
综上所述：
（2）∵年龄在 的“低碳族”与年龄在 的“低碳族”的比值为
∴采用分层抽样法抽取6人， 岁的有４人， 岁的有2人
设 岁中的4人为 ， 岁中的2人为 ，则选取2人作为领队的方法有
， 共15种
其中恰有1人年龄在 岁的有
共8种
∴选取的2名领队中恰有1人年龄在 岁的概率为
7．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录了6个抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.
（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.
解析：(1) ， ， 2 ， ， ∵ ， ， ∴甲车间的产品的重量相对较稳定
(2)从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法: ，
设 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则 的基本事件有4种: ， 故所求概率为
8. 已知集合 ，设M={ | , }，在集合M内随机取出一个元素 .
（1）求以 为坐标的点落在圆 上的概率；
（2）求以 为坐标的点位于区域D： 内（含边界）的概率.
解：（1）集合M 的所有元素有(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)共6个
记“以 为坐标的点落在圆 上”为事件A，则基本事件总数为6.
因落在圆 上的点有(0, -1)，(0, 1)2个，即A包含的基本事件数为２，
所以
（2）记“以(x，y)为坐标的点位于区域D内”为事件B. 则基本事件总数为6.
由右图知位于区域D内（含边界）的点有：(-2, -1)，(2, -1)，
(0, -1)，(0, 1)共４个，即B包含的基本事件数为4，
故 .
9. 如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD， 平面ABCD， ， ，E为BC中点.
（1）求证：平面 平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA//平面BDF？ 若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.
解析：（1）连结 ， ，
所以 ， 为 中点，所以 ，又因为 平面 ,
所以 ，因为
所以 平面
因为 平面 ,所以平面 平面
（2）当点 位于 三分之一分点（靠近 点）时, 平面
连结 交于 点， ,所以 相似于
又因为 ，所以 ，从而在 中, ……10分
而 ，所以 ，而 平面 ， 平面
所以 平面
10．如图，在矩形 中，点 为边 上的点，点 为边 的中点， ,现将 沿 边折至 位置，且平面 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积．
解析：（1）证明：在 中 ,
在 中， , , . 平面 平面 ，且平面 平面
平面 ,
平面 ， 平面 平面 .
（2）解：过 做 ,
平面 平面 平面 且平面 平面 ， 平面 ,
四棱锥 的高 .
则 .
11．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）证明：BN⊥平面C1B1N；
（2）求点
解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
则
,
,
（2）由等体积法 ,
则
12. 如图，正方形 所在平面与三角形 所在平面相交于 ， 平面 ，且 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求凸多面体 的体积．
证明：（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ．
在正方形 中， ，∵ ，∴ 平面 ．∵ ，∴ 平面 ．
（2）解法1：在 △ 中， ， ，
∴ ．
过点 作 于点 ，∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ． ∵ ，∴ 平面 ．
∵ ，
∴ ．
又正方形 的面积 ，
∴ ．
故所求凸多面体 的体积为 ．
解法2：在 △ 中， ， ，∴ ．
连接 ，则凸多面体 分割为三棱锥 和三棱锥 ．
由（1）知， ．∴ ．
又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∴点 到平面 的距离为 的长度．
∴ ．
∵ 平面 ，∴ ．
∴ ．
故所求凸多面体 的体积为 ．
13. 设等差数列 的前 项和为 ，满足： .递增的等比数列 前 项和为 ，满足： ，
（1）求 、 的通项公式
（2）设数列 对 ，均有 成立，求
解：由题意得 ，得
则公差 ，则
则 是方程 的两根，得
又 ，则 ，则
（2）
两式相减得
则
又 ，则
则
14. 设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，且 恰好是等比数列 的前三项．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
解：（1） ， 当 时， ，
， ，
恒成立， ，
当 时， 是公差 的等差数列.
构成等比数列， ， ，
解得 ，
当 时， ，
由条件可知， ，
数列 的通项公式为 .
， 数列 的通项公式为
（2） ， 对 恒成立， 即 对 恒成立， 11分
令 ， ，
当 时， ，当 时，
， ．
15．已知数列 满足 且 。
（1）求 的值；
（2）是否存在一个实数 ，使得 且 为等差数列？若存在，求出 的值；如不存在，请说明理由；
（3）求数列 的前n项和 ．
解析：（1）当n=2时， ，当n=3时，
， ．
（2）法一：当 时，
．
要使 为等差数列，则必须使 , 即存在 ，使 为等差数列．
法二：利用 ，可得 ，再证明 为等差数列.
（3） 因为当 时， 为等差数列，且 ，
所以
所以
所以
16．已知数列 中，
（1）证明数列 是等比数列；
（2）若 是数列 的前n项和，求 .
解析：（1）设 ，则 ，
因为
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，
即 ， 由 ，
得 ，
所以 ，
，
17. 已知椭圆 经过点 ，且其离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 的右焦点，椭圆 与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆 相交于另一点A，且满足 ，求△ABF外接圆的方程.
解：（1）因为椭圆 经过点 ，所以 .①
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，即 .②
联立①②解得， .所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）得，椭圆 的方程为 ，所以 .
设 ，则 .③
因为 ，且 ，
所以 ，即 .④
联立③④解得， 或 ，所以 或 .
当 为 时，因为 ，所以△ABF的外接圆是以 为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为 .
当 为 时，设△ABF的外接圆方程为 ，
则 解得
此时外接圆的方程为 .
综上所述，△ABF的外接圆的方程为 或 .
18．已知圆 ，若椭圆 的右顶点为圆M的圆心，离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线 ，若直线 与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且 ，求 的值．
解：（1）圆M的圆心为 ，则
， ，故
椭圆C的方程为
（2）设 ， ，由直线 与椭圆C交于两点A，B
则 得
所以 ，
点M 到直线 的距离 ，则
显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线 就是y轴，矛盾
，
即 ， 解得 ，即
19. 已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上， 为坐标原点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，且 为锐角，求直线 的斜率 的取值范围；
（3）过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的两条切线，切点分别为 （ 不在坐标轴上），若直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、 ，证明： 为定值．
解：（1）由题意得： 所以
又因为点 在椭圆 上，所以 ，可解得
所以椭圆标准方程为 ．
（2）设直线 方程为 ，设 、
由 得： ，
因为 ，所以 ，
又 ，
因为 为锐角，所以 ， 即 ，
所以 ，
所以 ．
所以
即 ，所以 ．所以 ，
解得 或
（3）由题意： 设点 ， ， ,
因为 不在坐标轴上，所以
直线 的方程为
化简得： ④
同理可得直线 的方程为 ⑤
把 点的坐标代入④、⑤得
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，令 得 ，
所以 ， 又点 在椭圆 上，
所以 ， 即 为定值．
20．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 与抛物线 有唯一公共点 ，且直线 与抛物线的准线交于点 ,试探究，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.
（1）解法1： ∵点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，
∴设点
∵抛物线C的准线为 ，由 结合抛物线的定义得 ①
又点 在抛物线C上，∴ ②
由①②联立解得 ，∴所求抛物线 的方程式为
[解法2：∵点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，
∴设点
∵抛物线C的焦点为 ，由 得
即 ①
又点 在抛物线C上，∴ ②
由①②联立解得 ，∴所求抛物线 的方程式为
（2）解法1：由抛物线C关于 轴对称可知，若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 必在 轴上，设
又设点 ，由直线 与抛物线 有唯一公共点 知，直线 与抛物线 相切，由 得 ，∴
∴直线 的方程为
令 得 ，∴ 点的坐标为 ，
∵点 在以 为直径的圆上，
∴
要使方程 对 恒成立，必须有 解得
∴在坐标平面内存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，其坐标为
解法2：设点 ，由 与抛物线 有唯一公共点 知，直线 与抛物线相切，由 得 ，∴
∴直线 的方程为 7分
令 得 ，∴ 点的坐标为
∴以 为直径的圆方程为： ③
分别令 和 ，由点 在抛物线 上得
将 的值分别代入③得： ④
⑤
④⑤联立解得 或
∴在坐标平面内若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 必为 或 将 的坐标代入③式得，左边= =右边
将 的坐标代入③式得，左边= 不恒等于0
∴在坐标平面内是存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，点 坐标为为
21. 设函数 (其中 ).
(1) 当 时,求函数 的单调区间和极值；
(2) 证明：当 时，函数 在 上有且只有一个零点．
解: (1) 当k=1时, ,
.
当 变化时, 的变化如下表:
由表可知, f(x)的增区间(-,0), (ln2, +), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为
.
(2) .
当x<1时, f(x)<0, 所以f(x)在(-,1) 上无零点, 故只需证明f(x)在[1, +)上有且只有一个零点.，若 , 当x1时, , f(x)在[1,+)上单调递增,
,
所以f(x)在[1,+)上有且只有一个零点.
若 , 则 ,
f(1)=-k<0, .
令 ,
.
所以f(x)在[1,+)上有且只有一个零点.
综上得:f(x)在R上有且只有一个零点.
22. 已知函数 的图像在点 处的切线与直线 平行.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若 上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明： （n∈N*）
解：（1） ，根据题意 ，即 .
（2）由（Ⅰ）知， ，
令 ，
则 ， =
①当 时， ，
若 ，则 ， 在 减函数，所以 ，即 在 上恒不成立．
② 时， ，当 时， ， 在 增函数，又 ，所以 ．
综上所述，所求 的取值范围是 .
（3）由（2）知当 时， 在 上恒成立．取 得
令 ， 得 ，
即 ,所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得
23. 已知函数 有且只有一个零点.
（1）求a的值；
（2）若对任意的 ，有 恒成立，求实数k的最小值；
（3）设 ，对任意 ，证明：不等式 恒成立.
24. 已知函数 .
⑴ 求函数 的单调增区间；
⑵ 记函数 的图象为曲线 ，设点 是曲线 上两个不同点，如果曲线 上存在点 ，使得：① ；②曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则称函数 存在“中值相依切线”.试问：函数 是否存在中值相依切线，请说明理由.
解：（1）函数 的定义域是 .
由已知得， .
ⅰ 当 时, 令 ,解得 ; 函数 在 上单调递增
ⅱ 当 时，
①当 时，即 时, 令 ,解得 或 ;
函数 在 和 上单调递增
②当 时，即 时, 显然，函数 在 上单调递增；
③当 时，即 时, 令 ,解得 或
函数 在 和 上单调递增.
综上所述:
⑴当 时,函数 在 上单调递增
⑵当 时,函数 在 和 上单调递增
⑶当 时,函数 在 上单调递增；
⑷当 时,函数 在 和 上单调递增.
(2)假设函数 存在“中值相依切线”.
设 , 是曲线 上的不同两点，且 ，
则 ， .
.
曲线在点 处的切线斜率 ，
依题意得： .
化简可得 ， 即 = .
设 ( )，上式化为： ,
,令 , .
因为 ,显然 ，所以 在 上递增,显然有 恒成立.
所以在 内不存在 ,使得 成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数 不存在“中值相依切线”
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