雅安市高中2015级第三次诊断性考试
数学试题(理科)
（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ,则
A. B. C. D.
2. 已知向量 ＝(1,2)， ＝(x，－4)，若 ∥ ，则
A．4 B．－4 C．2 D．
3. 设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设α为锐角，若cos ＝45，则sin 的值为
A． B．
C. D．
5. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 7
6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A. B. C. D.
7. 已知直线 ： 与圆 : 交于
两点且 ，则
A.2 B. C. D.
8. 若实数a，b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－2x＋a＋b＝0有实数根的概率是
A. B． C． D．
9.过抛物线 的焦点作直线 交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线 ,则 与 的交点P的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 满足 ，且对 ,有 则
A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 已知(1＋2i) z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z =
12. 在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .
13. 若函数 有零点，但不能用二分法求其零点，则 的值______
14．曲线y＝2sinx＋π4cosx－π4与直线y＝12在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________
15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）
①若 没有极值点，则
② 在区间 上单调，则
③若函数 有两个零点，则
④已知
三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
16．（本题满分12分）
已知向量 ＝(2sin x，3cos x)， ＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝ •
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝23，
且a>b，求a，b的值．
17. （本题满分12分）
雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（1）求直方图中 的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
18. （本题满分12分）
如图1在 中， ，D、E分别为线段AB 、AC的中点， ．以 为折痕，将 折起到图2的位置，使平面 平面 ，连接 ，设F是线段 上的动点，满足 ．
（1）证明：平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求 的值．
19.（本小题满分12分）
已知数列 的前项 和为 ，点 均在函数 的图象上。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的实数 的范围
20. (本小题满分13分)
已知椭圆 的离心率 ，直线 与椭圆交于 两点， 为椭圆的右顶点,
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上存在两点 使 ，求 面积的最大值。
21. （本题满分14分））
已知 ，其中 均为实数，
（1）求 的极值；
（2）设 ，求证对 恒成立；
（3）设 ，若对 给定的 ，在区间 上总存在 使得
成立，求m的取值范围。
雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见
一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.C
二、11. 12. -1 13. 2或-1 14. 15. ①②③
16.解:
(1)f(x)＝－2sin2x＋23sin xcos x
＝－1＋cos 2x＋23sin xcos x
＝3sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋π6)－1 …………………………3分
由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．…………………………6分
(2)∵f(C)＝2sin(2C＋π6)－1＝1，
∴sin(2C＋π6)＝1，
∵C是三角形的内角，∴2C＋π6＝π2，即C＝π6 …………………………8分
∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝32，即a2＋b2＝7.
将ab＝23代入可得a2＋12a2＝7，解得a2＝3或4.
∴a＝3或2，∴b＝2或3.
∵a>b，∴a＝2，b＝3 ……………………………12分.
17. 解:
（1）由直方图可得：
．
所以 ． ………………………………3分
（2）新生上学所需时间不少于 小时的频率为：
，
因为 ，
所以1200名新生中有 名学生可以申请住宿． ………………………………9分
（3） 的可能取值为
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于 分钟的概率为 ，
, ,
, ,
． ………………………………10分
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
．（或 ）
所以 的数学期望为 ． ………………………………12分
18.解:
（1） 平面 平面 ,
∴ 平面 ∴
∴ ………………………………2分
在直角三角形 中，
∴ 得 ∴ ，又
∴ ………………………………6分
（2）作
设BE交DC于O点，连OF，
由（1）知， 为二面角F－BE－C的平面角 …………………7分
由 ∴
，∴
在 …………10分
得， ………………………………12分
方法2： ，设BE交DC于O点，连OF，
则 为二面角F－BE－C的平面角 ………………………………7分
又 ∴
由 得 ………………………………8分
在直角三角形 中 ， ∴
由 得 从而得， ………12分
方法3：（向量法酌情给分）
以D为坐标原点DB，DE，D 分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0）， （0，0，2），B（2，0，0），
C（2， ，0），E（0， ，0）.
（1）
∵ ∴
∵ ∴
又 ，∴ 平面
又 平面
所以平面 平面 …………………………………6分
（2）设
设平面BEF的法向量为
，
取 …………………………………8分
又 平面BEC的法向量为
∴ 得
解得 ，又∵ ∴ ……………12分
19. 解：
（1） 点 在函数 的图象上，
当 时， …………………………2分
当 时，
…………………………5分
当 时， 符合
…………………………6分
（2）
……………………………10分
＜
又 对所有 都成立
故 ………………………………12分
20. 解：
（1）根据题意，不妨设 , ,
………………………………1分
………………………………2分
联立①②③④解得：
椭圆的方程为： ………………………………6分
（2）设 ， 中点为 ，
………………………………7分
在椭圆上，则 相减可得
直线EF的方程为：
即 代入 整理得：
， ………………………………9分
原点 到直线 的距离为 ………………………………11分
………………………………12分
当 时等号成立，所以 得最大值为 。…………………………13分
21. 解：
（1） 极大值 ，无极小值； ………………………………4分
（2） ，
,在 上 是增函数
,在 上是增函数
设 ，则原不等式转化为
即 …………………………………6分
令
在 恒成立
，即所证不等式成立 ……………………………………9分
(3）由(1）得
所以，
又 不符合题意
当 时，要 ，
那么由题意知 的极值点必在区间 内，即
得 ，且函数 在
由题意得 在 上的值域包含于 在 上的值域
内，
下面证 时， ，取 ，先证
令 内恒成立
再证 ………………… 14分
点击下载：四川省雅安市2015届高三第三次诊断性考试数学(理科)
