雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(文科)
（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ,则
A. B. C. D.
2.已知向量 ＝(1,2)， ＝(x，－4)，若 ∥ ，则
A．4 B．－4 C．2 D．
3. 设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 设 为锐角，若cos ＝45，则sin 的值为
A. B.
C. D.
5. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为2,则输出s的值是
A. 1 B. 2
C. 4 D. 7
6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A. B. C. D.
7. 已知直线 ： 与圆 与交于
两点且 ，则
A.2 B. C. D.
8．若实数 满足 ≤1，则关于 的方程 有实数根的概率是
A . B． C． D．
9．对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 满足 ，且对 ,有 则
A.1 B.2 C.3 D.4
10.过抛物线 的焦点作直线 交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线 ,则 与 的交点P的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 已知(1＋2i)z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z = .
12. 某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取 名学生.
高一 高二 高三
女生 373 m n
男生 377 370 p
13.若函数 有零点，但不能用二分法求其零点，则 的值______
14．曲线 与直线 在 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________.
15.以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）
①若 没有极值点，则
② 在区间 上单调，则
③若函数 有两个零点，则
④已知
三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知向量 ，函数
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边，且 ，且 > ，
求 的值．
17. （本小题满分12分）
有编号为 ，…， 的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
其中直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个.
(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
(ii)求这2个零件直径相等的概率
18．（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到几何体 ，如图2所示．
(1)求证： 平面 ；
(2)求几何体 的体积．
19.（本小题满分12分）
已知数列 的前项 和为 ，点 均在函数 的图象上。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的实数 的范围
20.（本小题满分13分）
已知抛物线 的焦点 以及椭圆 的上、下焦点及左、右顶点均在圆 上.
(1)求抛物线 和椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线交抛物线 于 、 两不同点,交 轴于点 ，已知 为定值.
21.（本小题14分）
已知函数
（1）当 求 的单调区间；
（2） ＞1时，求 在区间 上的最小值；
（3） 若 使得 成立，求 的范围。
雅安市高中2015级第三次诊断性考试
数学试题(文科)参考答案及评分意见
一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.B 8.A 9.A 10.A
二、11. 12. 16 13. 2或-1 14. 15. ①②③
三、
16. 解：
(1)f(x)＝－2sin2x＋23sin xcos x
＝－1＋cos 2x＋23sin xcos x
＝3sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋π6)－1 ………………………………3分
由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)． ………………………………6分
(2)∵f(C)＝2sin(2C＋π6)－1＝1，
∴sin(2C＋π6)＝1，
∵C是三角形的内角，∴2C＋π6＝π2，即C＝π6 ………………………………8分
∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝32，即a2＋b2＝7.
将ab＝23代入可得a2＋12a2＝7，解得a2＝3或4.
∴a＝3或2，∴b＝2或3.
∵a>b，∴a＝2，b＝3 ………………………………12分
17. 解：
（1）由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则 ． ………………………………4分
（2）（i）解：一等品零件的编号为 ．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有： , , , , , , , , , .共15种.
……………………………8分
(ii)解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有： , , , ,共有6种.
所以 . ………………………………12分
18. 解：
（1）证明：在图 中，可得 ，从而 ，故 ，
方法一：取 的中点 ，连接 ，则 ，又平面 ⊥平面 ，平面 平面 ， 平面 ，从而 平面
∴ ，又 ， ，∴ ⊥平面 ……………6分
（方法二：
……………6分）
(2)解 由(Ⅰ)知 为三棱锥 的高， ，
∴
由等体积性可知，几何体 的体积为 。 ………………………12分
19. 解：
（1） 点 在函数 的图象上，
当 时， …………………………2分
当 时，
…………………………5分
当 时， 符合
…………………………6分
（2）
……………………………10分
＜
又 对所有 都成立
故 ………………………………12分
20. 解：
（1）由 焦点 在圆 上得:
所以抛物线 ： ………………………………2分
同理由椭圆 的上、下焦点 及左、右顶点 均在圆 上可解得：
得椭圆 ：
总之，抛物线 ： 、椭圆 ： ……………………………6分
（2）设直线 的方程为 ， ，则 .
联立方程组 消去
得: ，
， 故
由 ， 得，
整理得， ，
……………………………………13分
21. 解：
（1）当 定义域
………………………2分
………………………4分
（2）
当 时，
- 0 +
极小值
当 时， 在
综上 …………………………9分
（3）由题意不等式 在区间 上有解
即 在 上有解
当 时， ，当 时，
在区间 上有解
令 …………………………10分
时，
时，
的取值范围为 ……………………………14分
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