2013三明高三市质检数学理科试题及答案

 
点击下载：2013年三明市普通高中毕业班质量检查--5月

2013年三明市普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
    1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据 ，…， 的标准差                 锥体体积公式
         
其中 为样本平均数                              其中 为底面面积， 为高
柱体体积公式                                   球的表面积、体积公式
                                          
其中 为底面面积， 为高                        其中 为球的半径

第I卷（选择题  共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“ ”的否定是
A.     B.     C.     D. 
2．已知复数 （其中 为虚数单位），则复数 的共轭复数 是
A．  B．  C．             D．
3．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于
A．16             B. 31            C. 32            D.63
4．阅读右边程序框图，下列说法正确的是
A．该框图只含有顺序结构、条件结构
B．该框图只含有顺序结构、循环结构
C．该框图只含有条件结构、循环结构
D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构
5．函数 的最小正周期是
 A．             B．  C．  D．
6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 
A．  B． 
C．  D．
7．已知函数 ，则 是
A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在 上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数，且在 上单调递减
8．在 中，“ ”是“ ”的
  A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．过双曲线  ， 的左焦点 作圆 :  的两条切线，
   切点为 ， ，双曲线左顶点为 ，若 ,则双曲线的渐近线方程为
A．   B．    C．   D． 
10．对于函数 ，若 ，则称 为函数 的“不动点”；若 ，则称 为函数 的“稳定点”.如果函数 的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数 的取值范围是
A．  B．  C．   D． 
第Ⅱ卷（非选择题  共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．
11．已知随机变量 ，若 ，则         ．
12．若抛物线 上一点 到焦点 的距离为4，则点 的横坐标为       ．
13．在二项式(x－ )6的展开式中, 常数项是＿＿＿．
14．由直线 ， ，曲线 及 轴所围成的图形的面积是＿＿＿．
15．已知函数 ，（ ，
 .若 ,且函数 的图像关于点 对称，并在 处取得最小值，则正实数 的值构成的集合是           .

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分13分)
如图，在几何体 中， 平面 ， ， 是等腰直角三角形， ，且 ，点 是 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值．
17．(本小题满分13分)
今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清．A市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：
（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率；
（Ⅱ）从该市市民中随机抽取 位，若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民，或
抽取的人数达到4位，则停止抽取，求 的分布列及数学期望．
18．(本小题满分13分)
已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 的右焦点 与抛物
线 的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）如图，设直线 与椭圆 交于
 两点（其中点 在第一象限），且
直线 与定直线 交于点 ，过
 作直线 交 轴于点 ，试
判断直线 与椭圆 的公共点个数．
19．(本小题满分13分)
某企业有两个生产车间，分别位于边长是 的等边三角形 的顶点 处（如图），现要在边 上的 点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返 车间5次，往返 车间20次，设叉车每天往返的总路程为 .（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）
(Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：
①设 长为 ，将 表示成 的函数关系式；
②设 ，将 表示成 的函数关系式.
(Ⅱ）请你选用(Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程  的最小值，并指出点 的位置．
20．(本小题满分14分)
已知函数 ．
(Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
(Ⅱ）当 时，在曲线 上是否存在两点 ，使得曲线在 两点处的切线均与直线 交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ）若 在区间 存在最大值 ，试构造一个函数 ，使得 同时满足以下三个条件：①定义域 ，且 ；②当 时， ；③在 中使 取得最大值 时的 值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数 即可）
21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选 2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ，绕原点逆时针旋转 的变换所对应的矩阵为 ．
（Ⅰ）求矩阵 ；
（Ⅱ）若曲线 ： 在矩阵 对应变换作用下得到曲线 ，求曲线 的方程．
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 为参数， ）．
（Ⅰ）化曲线 的极坐标方程为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 经过点 ，求直线 被曲线 截得的线段 的长．
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若 恒成立，求实数 的取值范围.
2013年三明市普通高中毕业班质量检查
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1．C     2．A      3．B      4．B      5．B
6．C     7．A      8．C．    9．A     10.D
二．填空题：
11．0.2；      12．3；      13．15；      14． ；     15． ．
三、解答题：
16．解法一：（Ⅰ）取 的中点 ，连结 ，
则 ，且 ，……………2分
又 ，∴ 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
则 ，               ………………5分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．     …………………6分
（Ⅱ）依题得，以点 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立如图的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ，
取 ，得， ．  ………………10分
又设 与平面 所成的角为 ， ，
则 ，               
故 与平面 所成角的正弦值为 ．…………………………………13分
解法二：（Ⅰ）取 的中点 ，连结 ，
则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
 平面 ，∴ 平面 ．……………6分
（Ⅱ）同解法一．     …………………………………13分
17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为 ，
从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为 ．
设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件 ，则 ，
故至少有一位市民会购买本地家禽的概率 ．…………………………6分
（Ⅱ） 的所有可能取值为：2，3，4．
 ， ， ，

所以 的分布列为：
 
2 3 4
 
 
 
 

  ．               …………………………13分
18．解：（Ⅰ）设 ，易知 ，又 ，得 ，于是有 ．
故椭圆 的标准方程为 ．  ……………4分
（Ⅱ）联立 得 ，
 的坐标为 ．故 ．
依题意可得点 的坐标为 ．设 的坐标为 ，  
故  ．
因为 ，所以 ，解得 ，
于是直线 的斜率为 ，         …………………………8分
从而得直线 的方程为： ，代入 ，
得 ，
即 ，知 ，
故直线 与椭圆 有且仅有一个公共点．                  …………………………13分
19．解：(Ⅰ）①在 中， ， ， ，
由余弦定理， ，
所以 ．………………3分
②在 中， ， ， ， 
 .
由正弦定理， ，
得 ， ，
则  ．  …………6分
(Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式， ，
 ，
由 得， ，记 ，
则当 时， ， ；当 时， ， ；
所以当 ，时，总路程 最小值为 ，
此时 ， ，
答：当 时，总路程 最小,最小值为  ． ……………………13分
20．解：（Ⅰ）依题可得  ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，解得 或 ，
 单调递增区间为 和 ．               ……………………………4分
（Ⅱ）设切线与直线 的公共点为 ，当 时， ，
则 ，因此以点 为切点的切线方程为 ．
因为点 在切线上，所以 ，即 ．
同理可得方程 .                     ……………………………6分
设 ，则原问题等价于函数 至少有两个不同的零点.
因为 ，
当 或 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减．
因此， 在 处取极大值 ，在 处取极小值 ．
若要满足 至少有两个不同的零点，则需满足 解得 ．
故存在，且交点纵坐标的取值范围为 ．        …………………………………10分
(Ⅲ）由(Ⅰ）知， ，即 ．        ………………………………11分
本题答案不唯一，以下几个答案供参考：
① ，其中 ；
② 其中 ；
③ 其中 ．  ………………14分
21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
解：（Ⅰ）由已知得，矩阵 ．     ………………3分
（Ⅱ）矩阵 ，它所对应的变换为 解得
把它代人方程 整理，得  ，
即经过矩阵 变换后的曲线 方程为  .　        ……………………7分
（注：先计算 ，再求曲线 方程，可相应酌情给分）
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
解法一：（Ⅰ）由 得， ，
即曲线 的直角坐标方程为 ．                  ………………………………3分
（Ⅱ）由直线 经过点 ，得直线 的直角坐标方程是 ，
联立 ，消去 ，得 ，又点 是抛物线的焦点，
由抛物线定义，得弦长 ．            ……………………7分
解法二：（Ⅰ）同解法一．                              ………………………………3分
（Ⅱ）由直线 经过点 ，得 ，直线 的参数方程为
将直线 的参数方程代入 ，得 ，
所以 ．     ……………………7分
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）因为 ，且 ，所以 ，由柯西不等式
  ，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴ 的最小值为 ．                                  ……………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 的最小值为 ，由题意可得 ，∴ ，
 则实数 的取值范围为 ．                          ……………………………7分