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江苏省苏锡常镇四市2014年高三教学情况调查(一)数学试题
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅰ试题
命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3
参考公式：
柱体的体积公式：V柱体=，其中S是柱体的底面积，h是高．
直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧=ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则
2．若复数（为虚数单位），则
3．已知双曲线的离心率为，．，2；，3；，4；，5；，4；，2上的频率是 ▲ ．
5．如所示图则后输出的等于．，若，则的值为 ▲ ．
7．( ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD
且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ▲ ．
8．从甲乙丙丁4人中人，则甲乙的概率为．，，则的值为 ▲ ．
10．的前项和为，若，，，则正整数= ▲ ．
11．已知正数满足，则的最小值为12．，设∥，若，则的值为 ▲ ．
13．已知函数恰两个零点，则实数的取值范围为14．中，已知点内过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围为6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
设．
（1）求的最小正周期和值域在中角的对边分别为且，，求．
16．（本小题满分14分）
如图，三棱柱中，侧面为菱形， 且，是的中点．1）求证平面平面求证∥平面．17．（本小题满分14分）
一个圆柱形圆木底面半径为，长为圆木沿轴剖成两个部分一部分加工成四棱柱木底面为等腰梯形在半圆上），设，木3），表面积为S（单位：m2）．
θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积最大当木的体积最大时，其表面积是否也最大
18．（本小题满分16分）
如图，中，已知，是椭圆上不同的三点，，在第三象限，线段的中点在直线上．
（1）求椭圆方程；
求；
在椭圆上异于，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．
19．（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列，且对一切都成立．
λ = 1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．
20．（本小题满分16分）
已知函数，其中均为实数．的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求，若对任意给定的，在上总存在，使 成立，求的取值范围．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅱ（附加题）
命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3
21．【选做题】在A、B、C、D 10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图为四边形的外接，且，是延长线上一点，直线与圆相切．求证：．
4—2：矩阵与变换
已知，，计算4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．．
D．选修4—5：不等式选讲
已知，若函数的图象恒在轴上方，求的取值范围．
22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
甲乙两个同学进行投篮游戏，已知他们一次投篮中的概率均为甲同学决定投次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．求至少有次投中的概率求投篮次数的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
设，，其中当为偶数时，当为奇数时，．
证明：当时，记，求的值．
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 2． 3. 4 4. 5．63 6．2 7． 8. 9．
10．13 11．9 12． 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解=
=． …………………3分所以的最小正周期为分值域为分由得为锐角，，∴． …………………9分
，，∴． …………………10分． …………………12分． …………………14分16．（1）证明 为菱形，且，为正三角形分是的中点，．
∵，是的中点 ． …………………4分，平面分
平面，平面平面分
证明连结，连结
∵三棱柱侧面是平行四边形，为中点分
中，又∵是的中点，∥． …………………12分
平面，平面， ∥平面分
17解的面积=，． …………………2分
体积分
．
令，得，或，∴． …………………5分
时，，为增函数时，，为减函数分时体积最大8分
木的面积，．
=，．…………………10分
设．∵，当时，最大12分
又由知时，取最大值，所以时木的表面积最大13分
综上，当木的体积最大时，其表面积也最大14分
18解由， 解得分所以椭圆的方程为3分
，则中点为直线的方程为，．①
又∵点在椭圆上，．②
由①②，解得（舍），，从而． …………………5分所以点的坐标为6分
，，．
∵三点共线，∴，整理，得．…………………8分三点共线，∴，整理，得．…………………10分在椭圆上，，．
从而． …………………14分所以15分为定值，定值为． …………………16分19．解：（1）若λ = 1，则，．
又∵， ∴， ………………… 2分
∴，
化简，得．① ………………… 4分
∴当时，．②
② ( ①，得，∴（）． ………………… 6分
∵当n = 1时， ，∴n = 1时上式也成立，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n(1（）． …………………8分
（2）令n = 1，得．令n = 2，得． ………………… 10分
要使数列是等差数列，必须有，解得λ = 0． ………………… 11分
当λ = 0时，，且．
当n≥2时，，
整理，得，， ………………… 13分
从而，
化简，得，所以． ……………… 15分
综上所述，（），
所以λ = 0时，数列是等差数列． ………………… 16分
20．解：（1），，得x = 1． ………………… 1分
列表如下：
x（(∞，1）1（1，(∞）(0(g(x)↗极大值↘
∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． …………………3分
（2）当时，，．
∵在恒成立在上为增函数设，> 0在恒成立在上为增函数设则等价于，
．
设，在为减函数在上恒成立恒成立设=，x([3，4]，
∴，∴< 0，为减函数．
∴在[3，4]上的最大值为v(3) = 3 (． ………………… 8分
∴a≥3 (，∴的最小值为3 (． …………………9分
（3）由（1）知在上的值域为，，
当时，在为减函数，不题意当时，，由题意知在不单调，所以，．① …………………12分
此时在上递减，在上递增，，，解得．②
由①②，得． …………………13分
∵，成立，≥1．
取，先证，即证．③
设，则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴，∴③成立．
再证≥1．
∵，∴时，命题成立．
综上所述，的取值范围为2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21、【选做题】在A、B、C、D 10分，共计20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明连结．是圆的切线，． …………………2分
，． ∴． …………………4分
圆是四边形的外接圆，． …………………6分
∽． …………………8分
， ． ……………10分4—2：矩阵与变换
解：矩阵M的特征多项式为
令，对应的一个特征向量分别为． …5分令得．………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（1）圆的直角坐标方程为． ……………5分代入上述方程，得圆的极坐标方程为．分4—5：不等式选讲
解的最小值为，分，解得． …………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，至少概率，则
…………………2分=． …………………4分．
，，，，
．
的分布表为
12345……………8分
的数学期望． …………………10分
23．解当为奇数时，为偶数，为偶数，，
∴
=．
∴当为奇数时，成立5分
同理可证，当为偶数时， 也成立．6分
由，得
=
=
=．分
又由得所以． …………………10分
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15
15
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y ← 2y ( 1
y ← 1
x ← 1
开始
结束
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．
2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．
4．如需作图须用2B铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
输出y
N
Y
（第5题）
x≤5
x ← x ( 1
Y
（第12题）
（第16题）
（第17题）
（第18题）
注 意 江苏省苏锡常镇四市2014年高三教学情况调查(一)数学试题（纯word版，含附加题）
