2015届广州市高三数学差缺补漏题（ 理科）
1．已知向量 ， ，函数 ．
（1）求函数 的最大值，并写出相应 的取值集合；
（2）若 ，且 ，求 的值．
解析： ：（1） ，
∴当 ，即当 时， ；
（2）由（1）得： ，∴ ， 。
∵ ，∴ ，∴ ．
2. 已知函数 ．
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）设 ，且 ，求 的值．
解析：（1） ，
由 得 ，
当 即 时， 递增；
当 即 时， 递减；
当 即 时， 递增．
综上，函数 在区间 、 上递增，在区间 上递减．
（2）由 ，即 ，得 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
则
．
3. 在△ABC中，内角 所对的边分别是 ，且满足：
又 .
（1）求角A的大小；
（2）若 ，求 的面积 ．
解：（1）∵
∴ , 又∵
∴
（2）∵
∴ ，
∴ 即
∴ ,
又∵
∴
4. 设 的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3 +3 -3 =4 bc ．
（1） 求sinA的值；
（2）求 的值．
解：（1）由余弦定理得
又
（2）原式
5. PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准 PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM 2.5日均值（微克/立方米） [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85]
频数 3 1 1 1 1 3
（1）从这10天的PM 2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记 表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求 的分布列；
（3）以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）.
解：（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则
答：恰有一天空气质量达到一级的概率为
（2）依据条件， 服从超几何分布，其中
的可能取值为0，1，2，3，
其分布列为
0 1 2 3
[
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
设一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ，则
估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级
6. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。
(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2) 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记 表示两人中成绩不合格的人数，求 的分布列及数学期望；
(3) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次测试总人数为 (人).
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)
即这次铅球测试成绩合格的人数为36
(2) =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为 ,∴ ～ .
， ， .
所求分布列为
X 0 1 2
P
两人中成绩不合格的人数的数学期望为
(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 、 米，则基本事件满足的区域为
，
事件 “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为 ，如图所示.
∴由几何概型 . 即甲比乙投掷远的概率为
7. 为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统计数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 合计
喜欢玩游戏 40 20
不喜欢玩游戏 20
合计
（1）请补充完成 列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？
（2）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数 的分布列与数学期望。
附：
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：（1）统计数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 合计
喜欢玩游戏 40 20 60
不喜欢玩游戏 20 30 50
合计 60 50 110
将表中的数据代入公式，可求得
查表 有 的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。
（2）易知，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有 （名），“认为作业不多”的学生有2名。
由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数 的所有可能取值为2,3,4.
其中
所以 的分布列为
2 3 4
故 的数学期望为
8．射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为 ，命中一次得3分；命中乙靶的概率为 ，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量 表示该射手一次测试累计得分，如果 的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。
（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分 的分布列和数学期望E ；
（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。
解析：（1） 的所有可能取值为 ，则
，
，
，
．
的分布列为：
，
（2）射手选择方案1通过测试的概率为 ，选择方案2通过测试的概率为 ,
；
,
因为 ，所以应选择方案2通过测试的概率更大．
9. 如图，在斜三棱柱 中，侧面 ⊥底面 ，侧棱 与底面 成60°的角， ．底面 是边长为2的正三角形，其重心为 点， 是线段 上一点，且 ．
（1）求证： //侧面 ；
（2）求平面 与底面 所成锐二面角的正切值．
解：（1）延长B1E交BC于点F，
∽△FEB，BE= EC1， ∴BF= B1C1= BC，
从而点F为BC的中点．
∵G为△ABC的重心， ∴A、G、F三点共线． 且 ，
又GE 侧面AA1B1B， ∴GE//侧面AA1B1B
（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA1B1B⊥底面ABC， ∴B1H⊥底面ABC．
又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，
∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，
又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH ．
在Rt△B1HT中， ，
从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，
又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．
以O为原点建立空间直角坐标系O— 如图，
则 ， ， ，
， ， ．
∵G为△ABC的重心，∴ ．
，∴ ，
∴ ．
又GE 侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．
（2）设平面B1GE的法向量为 ，则由 得
可取 又底面ABC的一个法向量为
设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为 ，则 ．
由于 为锐角，所以 ，进而 ．
故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
10. 如图，三棱柱 中, , ,平面 平面 , 与 相交于点 .
（1）求证： 平面 ;
（2）设点 是直线 上一点，且 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
解析：：（1）由已知得侧面 是菱形, 是 的中点，
平面 平面 ，且 ，平面 平面 =AC1
平面 .
（2）设点 是 的中点，因为点 是 的中点，所以 平面 ，
又因为 面 ，所以平面 平面 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，所以点 是 的中点。
如图，以 为原点,以 所在直线分别为 轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得 所以
设平面 的一个法向量是 由 得 ，
又
由
令 ，所以
平面 平面 ， ，所以 平面 ∴ 是平面 的一个法向量是 ，
平面 与平面 夹角的余弦值是
11. 如图所示,在四棱柱 中,底面 是梯形, ,侧面 为菱形, .
(1) 求证: ;
(2) 若 ,点 在平面 上的射影恰为线段 的中点,求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
解析：解一：（1）因为侧面 为菱形，所以 ，又 ，
所以
，
从而 .
（2）设线段 的中点为 ，连接 、 ，由题意知 平面 .因为侧面 为菱形，所以 ，故可分别以射线 、射线 、射线 为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，如图1所示.
设 ，由 可知 ， ，所以 ，从而 ， ， ， . 所以 .
由 可得 ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ，由 ， ，
得 取 ，则 ， ，所以 .
又平面 的法向量为 ，所以 .
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
解二：（1）连接 、 、 ，设 交 于点 ，
连 ，如图2所示.
由 ， 可得△ ≌△ ，
所以 .由于 是线段 的中点，所以 ，
又根据菱形的性质 ，所以 平面 ，从而 .
（2）因为 ， ，所以延长 、 交于点 ，
延长 、 交于点 ，且 ， .连接 ，
则 .过点 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，
连接 ，如图3所示.因为 ，所以 .
由题意知 平面 ，可得 ，
故 是平面 与平面 所成二面角的平面角.
易知 ， ，所以 .在 △ 中，
，所以 .
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
12．已知平行四边形 ， ， ， ， 为 的中点，把三角形 沿 折起至 位置，使得 ， 是线段 的中点．
（1）求证： ；
（2）求证：面 面 ；
（3）求二面角 的正切值．
解析： (1) 如图
证明：取 的中点 ，连接
为 中点
，且
为平行四边形 边 的中点
，且
，且
四边形 是平行四边形
平面 ， 平面
平面
（2）取 的中点 ，连接
， ， ， 为 的中点
为等边三角形，即折叠后 也为等边三角形
，且
在 中， ， ，
根据余弦定理，可得
在 中， ，， ，
，即
又 ，所以
又
面 面
（3）过 作 于 ，连接
又
是二面角 的平面角
在 中， ， ，故
所以二面角 的正切值为
13. 设等差数列 的前 项和为 ，满足： .递增的等比数列 前 项和为 ，满足： ，
（1）求 、 的通项公式
（2）设数列 对 ，均有 成立，求
解：由题意得 ，得
则公差 ，则
则 是方程 的两根，得
又 ，则 ，则
（2）
两式相减得
则
又 ，则
则
14. 设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，且 恰好是等比数列 的前三项．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
解：（1） ， 当 时， ，
， ，
恒成立， ，
当 时， 是公差 的等差数列.
构成等比数列， ， ，
解得 ，
当 时， ，
由条件可知， ，
数列 的通项公式为 .
， 数列 的通项公式为
（2） ， 对 恒成立， 即 对 恒成立， 11分
令 ， ，
当 时， ，当 时，
， ．
15．已知数列 满足 且 。
（1）求 的值；
（2）是否存在一个实数 ，使得 且 为等差数列？若存在，求出 的值；如不存在，请说明理由；
（3）求数列 的前n项和 ．
解析：（1）当n=2时， ，当n=3时，
， ．
（2）法一：当 时，
．
要使 为等差数列，则必须使 , 即存在 ，使 为等差数列．
法二：利用 ，可得 ，再证明 为等差数列.
（3） 因为当 时， 为等差数列，且 ，
所以
所以
所以
16．已知数列 中，
（1）证明数列 是等比数列；
（2）若 是数列 的前n项和，求 .
解析：（1）设 ，则 ，
因为
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，
即 ， 由 ，
得 ，
所以 ，
，
17. 已知椭圆 经过点 ，且其离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 的右焦点，椭圆 与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆 相交于另一点A，且满足 ，求△ABF外接圆的方程.
解：（1）因为椭圆 经过点 ，所以 .①
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，即 .②
联立①②解得， .所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）得，椭圆 的方程为 ，所以 .
设 ，则 .③
因为 ，且 ，
所以 ，即 .④
联立③④解得， 或 ，所以 或 .
当 为 时，因为 ，所以△ABF的外接圆是以 为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为 .
当 为 时，设△ABF的外接圆方程为 ，
则 解得
此时外接圆的方程为 .
综上所述，△ABF的外接圆的方程为 或 .
18．已知圆 ，若椭圆 的右顶点为圆M的圆心，离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线 ，若直线 与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且 ，求 的值．
解：（1）圆M的圆心为 ，则
， ，故
椭圆C的方程为
（2）设 ， ，由直线 与椭圆C交于两点A，B
则 得
所以 ，
点M 到直线 的距离 ，则
显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线 就是y轴，矛盾
，
即 ， 解得 ，即
19. 已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上， 为坐标原点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，且 为锐角，求直线 的斜率 的取值范围；
（3）过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的两条切线，切点分别为 （ 不在坐标轴上），若直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、 ，证明： 为定值．
解：（1）由题意得： 所以
又因为点 在椭圆 上，所以 ，可解得
所以椭圆标准方程为 ．
（2）设直线 方程为 ，设 、
由 得： ，
因为 ，所以 ，
又 ，
因为 为锐角，所以 ， 即 ，
所以 ，
所以 ．
所以
即 ，所以 ．所以 ，
解得 或
（3）由题意： 设点 ， ， ,
因为 不在坐标轴上，所以
直线 的方程为
化简得： ④
同理可得直线 的方程为 ⑤
把 点的坐标代入④、⑤得
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，令 得 ，
所以 ， 又点 在椭圆 上，
所以 ， 即 为定值．
20．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 与抛物线 有唯一公共点 ，且直线 与抛物线的准线交于点 ,试探究，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.
（1）解法1： ∵点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，
∴设点
∵抛物线C的准线为 ，由 结合抛物线的定义得 ①
又点 在抛物线C上，∴ ②
由①②联立解得 ，∴所求抛物线 的方程式为
[解法2：∵点 是直线 与抛物线 在第一象限的交点，
∴设点
∵抛物线C的焦点为 ，由 得
即 ①
又点 在抛物线C上，∴ ②
由①②联立解得 ，∴所求抛物线 的方程式为
（2）解法1：由抛物线C关于 轴对称可知，若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 必在 轴上，设
又设点 ，由直线 与抛物线 有唯一公共点 知，直线 与抛物线 相切，由 得 ，∴
∴直线 的方程为
令 得 ，∴ 点的坐标为 ，
∵点 在以 为直径的圆上，
∴
要使方程 对 恒成立，必须有 解得
∴在坐标平面内存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，其坐标为
解法2：设点 ，由 与抛物线 有唯一公共点 知，直线 与抛物线相切，由 得 ，∴
∴直线 的方程为 7分
令 得 ，∴ 点的坐标为
∴以 为直径的圆方程为： ③
分别令 和 ，由点 在抛物线 上得
将 的值分别代入③得： ④
⑤
④⑤联立解得 或
∴在坐标平面内若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 必为 或 将 的坐标代入③式得，左边= =右边
将 的坐标代入③式得，左边= 不恒等于0
∴在坐标平面内是存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，点 坐标为为
21. 设函数 (其中 ).
(1) 当 时,求函数 的单调区间和极值；
(2) 证明：当 时，函数 在 上有且只有一个零点．
解: (1) 当k=1时, ,
.
当 变化时, 的变化如下表:
由表可知, f(x)的增区间(-,0), (ln2, +), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为
.
(2) .
当x<1时, f(x)<0, 所以f(x)在(-,1) 上无零点, 故只需证明f(x)在[1, +)上有且只有一个零点.，若 , 当x1时, , f(x)在[1,+)上单调递增,
,
所以f(x)在[1,+)上有且只有一个零点.
若 , 则 ,
f(1)=-k<0, .
令 ,
.
所以f(x)在[1,+)上有且只有一个零点.
综上得:f(x)在R上有且只有一个零点.
22. 已知函数 的图像在点 处的切线与直线 平行.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若 上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明： （n∈N*）
解：（1） ，根据题意 ，即 .
（2）由（Ⅰ）知， ，
令 ，
则 ， =
①当 时， ，
若 ，则 ， 在 减函数，所以 ，即 在 上恒不成立．
② 时， ，当 时， ， 在 增函数，又 ，所以 ．
综上所述，所求 的取值范围是 .
（3）由（2）知当 时， 在 上恒成立．取 得
令 ， 得 ，
即 ,所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得
23. 已知函数 有且只有一个零点.
（1）求a的值；
（2）若对任意的 ，有 恒成立，求实数k的最小值；
（3）设 ，对任意 ，证明：不等式 恒成立.
解析：（1） 的定义域为 ， ．
由 ，得 .
∵ 当 时， ；当 时， ，
∴ 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，
∴ 在 处取得最大值．
由题意知 ，解得 ．
（2）法一、由题意得 ，
，故 在 恒成立，
设 ， ， ，
，
由（1）得， ， ， 在 单调递减，
， ，故实数k的最小值为 。
法二、由题意得 ，
设 ， ，则 ，
，
当 时， ， 在 递增，
故 即 ， ； 8分
当 时， ，
设 ， ，则 ，
在 递减，在 递增，
，即 ，即 ，
由（1）得， 在 时恒成立，故 符合。
综上， ，故实数k的最小值为 。 10分
（3）由 ．
不妨设 ，则要证明 ，
只需证明， ，
即证 ． 12分
设 ，则只需证明 （*）
由（2）得， 在 时恒成立，
故（*）式成立，原不等式恒成立．
24. 已知函数 .
⑴ 求函数 的单调增区间；
⑵ 记函数 的图象为曲线 ，设点 是曲线 上两个不同点，如果曲线 上存在点 ，使得：① ；②曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则称函数 存在“中值相依切线”.试问：函数 是否存在中值相依切线，请说明理由.
解：（1）函数 的定义域是 .
由已知得， .
ⅰ 当 时, 令 ,解得 ; 函数 在 上单调递增
ⅱ 当 时，
①当 时，即 时, 令 ,解得 或 ;
函数 在 和 上单调递增
②当 时，即 时, 显然，函数 在 上单调递增；
③当 时，即 时, 令 ,解得 或
函数 在 和 上单调递增.
综上所述:
⑴当 时,函数 在 上单调递增
⑵当 时,函数 在 和 上单调递增
⑶当 时,函数 在 上单调递增；
⑷当 时,函数 在 和 上单调递增.
(2)假设函数 存在“中值相依切线”.
设 , 是曲线 上的不同两点，且 ，
则 ， .
.
曲线在点 处的切线斜率 ，
依题意得： .
化简可得 ， 即 = .
设 ( )，上式化为： ,
,令 , .
因为 ,显然 ，所以 在 上递增,显然有 恒成立.
所以在 内不存在 ,使得 成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数 不存在“中值相依切线”
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