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河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考
数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数 （ 是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.在 中， 为 边的中点，若 ， ，则 （ ）
A． B． C. D．
5.将函数 的图象向左平移 个单位，所得的函数关于 轴对称，则 的一个可能取值为（ ）
A． B． C.0 D．
6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C. D．
7.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 分别是（ ）
A． B．
C. D．
8.如图，周长为1的圆的圆心 在 轴上，顶点 ，一动点 从 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长 ，直线 与 轴交于点 ，则函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9.设方程 与 的根分别为 ，则（ ）
A． B． C. D．
10.已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
11.设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C. D．
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 称为狄利克雷函数，则关于函数 有以下四个命题：
① ； ②函数 是偶函数；
③任意一个非零有理数 ， 对任意 恒成立；
④存在三个点 ， ， ，使得 为等边三角形．
其中真命题的个数是( )
A．4 B．3 C.2 D．1
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知等比数列 的第5项是二项式 展开式中的常数项，则 ．
14.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种.
15.若不等式组 所表示的平面区域存在点 ，使 成立，则实数 的取值范围是 .
16.如图所示，由直线 ， 及 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 ．类比之， ， 恒成立，则实数 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本题满分12分)
在 中，内角 对应的三边长分别为 ，且满足 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是： ．
（Ⅰ）求图中 的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ， 为直角， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 .
20.（本小题满分12分）
椭圆 ，原点 到直线 的距离为 ，其中：点 ，点 .
（Ⅰ）当 ， ， 成等差数列时，求 的面积；
（Ⅱ）经过椭圆右焦点 的直线 和该椭圆交于 、 两点，点 在椭圆上， 为原点，若 ，求直线 的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，函数 在 处的切线 与直线 垂直.
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知 中， ， 为 外接圆劣弧 上的点（不与点 重合），延长 至 ，延长 交 的延长线于 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： ．
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以直角坐标系原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，求直线 被曲线 截得的弦长．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 ，不等式 的解集为 ．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
17届（高三）第一次联考
数学（理）试卷
试卷答案
一、选择题
1-5:CDADB 6-10:BBDAC 11、12：DA
二、填空题
13.36 14.150 15. 16.
三、解答题
17.解析：（Ⅰ）∵ ，
∴ ， …………………………2分
∵ ，∴ ……………………………………4分
∴ …………………………………………6分
（Ⅱ）解法1：
由正弦定理得 ，
∴ ．……………………………………8分
∴
…………10分
∵ ，∴ ， ，
所以 ．…………………………12分
解法2：
∵ ，∴ ， ……………………8分
∵ ， ……………………………………10分
，即 ，∵ ，∴ ……………………12分
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故 的可能取值为 ．………………………………………………5分
， ，
， ．………………………………………………………………9分
故 的分布列为
0 1 2 3
所以 ．……………………………………………………12分
19.解：（Ⅰ）
证：由已知 平行且等于 且 为直角，故 是矩形，
从而 ．
又 底面 ，∴平面 平面 ，
∵ ，故 平面 ，∴ ，
在 内， 、 分别是 、 的中点， ，∴ ，
由此得 平面 .………………………………6分
方程有解 ，故不论 取任何正整数时，方程总有公共根 .
（Ⅱ）以 为原点，以 ， ， 为 轴， 轴， 轴正向建立空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 可取 ，
设二面角 的大小为 ，则
，
所以， …………………………………………12分.
20.解：（Ⅰ）设直线 且 ，
所以离心率 ．……………………………………3分.
（Ⅱ）椭圆 方程为 ，设 ，
①当直线 斜率为0时，其方程为 ，
此时 ， ，不满足 ，不符合题意，舍去………………4分
②当直线 斜率不为0时设直线 方程为 ，
由题意： 消 得 ，…………………………5分
所以 ．……………………………………7分
因为 ，所以 ， ，
因为点 在椭圆上，
所以
所以 ……………………9分
∵
化简得 ，得 ，直线 为 ……………………11分
综上，直线 为 …………………………12分
21.解：（Ⅰ）∵ ，∴ ，
∵与直线 垂直，∴ ，∴ ，………………2分
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
由题知 在 上有解，
∵ 设 ，则 ，所以只需 ，
故 的取值范围是 …………………………………………6分
. （Ⅲ）∵ ，
令 ，得 ，
由题 ，
，则 ……………………………………8分
∵ ，所以令 ，
又 ，所以 ，所以 ，
整理有 ，解得 ，
∴ …………………………………………10分
，所以 在 单调递减，
，
故 的最小值是 ．……………………………………12分
22.解析：（Ⅰ）证明：∵ 、 、 、 四点共圆，
∴ ，
∵ ，∴ ，且 ，
，
∴ ．…………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，又∵ ，
所以 与 相似，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
根据割线定理得 ，
．………………………………10分
23．⑴∵曲线 的参数方程为 （ 为参数）
∴曲线 的普通方程为 ，
将 代入并化简得： ，
即曲线 的极坐标方程为 …………………………5分
（2）∵ 的直角坐标方程为 ，
∴圆心 到直线 的距离为 ，∴弦长为 ．……………………10分
24．⑴∵ ，∴ ，
∵ 的解集为 ，∴ ，∴ ．…………………………5分
⑵∵ ，
又 恒成立，
∴ ．………………………………………………10分
