厦门市2016～2017学年度第一学期高一年级质量检测数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1¬—5：AABDC 6—10：CBDCB 11-12 CB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 85 14. 36 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 本小题考查集合的运算，集合间的关系，指数不等式解法等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．本题满分10分．
解：（Ⅰ） 且函数 在R上为减函数， 2分
， 3分
. 5分
（Ⅱ） , 6分
， 8分
解得 或 ... 10分
18. 本小题考查二次函数、指数函数、分段函数等基础知识，考查函数的基本性质；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．本题满分12分．
解：（Ⅰ）∵函数 的图象经过点 ， ，解得 ， 2分
其图象如图所示： 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ， ，
7分
∴ 或 或 ， 10分
∴ 的取值范围为 或 或 . 12分
19. 本小题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，考查化归与转化等数学思想. 本题满分12分．
解：（Ⅰ）将4个红球分别记为 ， ， ， ，2个白球分别记为 ， ，
则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，总共15种， 2分
其中2个都是红球的有{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }共6 种， 3分
所以方案一中奖的概率为 ， 5分
所以顾客的想法是错误的. 6分
（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种， 8分
其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1,4），（2,4），（3,4），（4,4），（5,4），
（6,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,5），（4,6）共11种， 9分
所以方案二中奖的概率为 ， 11分
所以应该选择方案一. 12分
20. 本题考查学生收集、整理、分析数据的能力；考查学生利用频率分布直方图估计样本平均值的能力以及用样本估计总体的思想. 本题满分12分．
解：（Ⅰ）频率分布表补齐如下：
分组 频数 频率
[59.0，63.0) 2 0.05
[63.0，67.0) 6 0.15
[67.0，71.0) 11 0.275
[71.0，75.0) 9 0.225
[75.0，79.0) 7 0.175
[79.0，83.0] 5 0.125
合计 40 1.00
4分
， . 6分
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为
9分
11分
根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁. 12分
21. 本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识．本小题满分12分．
解：(Ⅰ)两个函数 ， 在 上都是增函数，随着 的增加，函数 的值增加的越来越快，而函数 的值增加的越来越慢.
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型 适合要求． 2分
由题意可知， 时， ； 时， ，所以 3分
解得 5分
所以该函数模型的解析式是 ． 6分
(Ⅱ) 时, ,
所以元旦放入凤眼莲面积是 7分
由 得 9分
所以
因为 所以 ， 11分
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是 月份. 12分
22. 本小题考查二次函数、反函数、函数的单调性、函数的零点等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想．本小题满分12分．
解：(Ⅰ) 函数 的图象开口向上，且 ，
所以 在 上的最大值为 ， 1分
所以 ， ， 2分
因为 是 的反函数，
所以 ， ， 3分
由 ，得 或 ， 4分
又因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递增，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知， 记 ，
设 ，则 ，所以 ，
因为 在 上递增且 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以
即 ，所以 在 上递增， 7分
又因为 ， ，
即 ，
所以函数 恰有一个零点 ，且 ， 8分
所以 ，即 ， 9分
所以 ， 10分
因为 在 上是减函数， 11分
所以 ，即 ，
综上，函数 恰有一个零点 ，且 .
12分
