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安徽省淮北市2016届高三第二次模拟考试理文科数学
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.已知集合 ,集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ，则的值为 （ ）
A. B.2 C. D.
3.“”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知数列 满足： ， （ ）
A. B. C. D.
5.以双曲线 的左右焦点为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
6.函数 的图像大致为 （ ）
A. B. C. D.
7.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿. 可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止. 若铜钱是直径为 3cm的圆，中间有边长为 1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是 （ ）
A. B. C. D.
8.若执行如图所示的框图， 则输出的数S等于（ ）
A. B.1 C. D.
9.若变量满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）
A.3 B.1 C. D.不存在
10.在中，点在线段的延长线上，且 ，点在线段上（与点 不重合），若 ，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
11.一个三棱锥的三视图如图所示：则该棱锥的外接球的体积为 （ ）
A. B.
C. D.
12.已知 为定义在上的单调递增函数， 是其导函数，若对任意的总有 ，则下列大小关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共1小题，共5.0分)
13.已知复数 ，则
14.函数 的单调递减区间是
15.过点 引直线与圆 相交于 两点， 为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为
16.为“精致数列”.已知等差数列 的首项为1，公差不为0，若数列 为“精致数列”，则数列 的通项公式为
三、解答题(本大题共8小题，共96.0分)
17.（本题满分12分）在中，边、、分别是角、、的对边，且满足，设的最大值为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）
18.（本题满分12分）
19.（本题满分12分）为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛。下图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按 分组，得到频率分布直方图
图1(高中) 图2(初中)
（I）若初中年级成绩在 之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；
（II）完成下列 列联表，并回答是否有的把握认为“两个学段的学生对”四大名著”的了解有差异”？
成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计
初中年级
高中年级
合计
附：
临界值表：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
20.（本题满分12分）已知椭圆 , 的两个焦点为 其短轴长是 ，原点到过点 和 两点的直线的距离为 。
（I）求椭圆的方程；
（II）若点 是定直线上的两个动点，
21. （本题满分12分）已知函数
(Ⅰ)当时，求 的极值；
(Ⅱ)当时，若对任意 ，使得 的取值范围.
22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
已知在中， 以为直径的圆交于，过点作圆的切线交于.求证：
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线: 为参数), 曲线 （为参数）.
(I)设与 相交于 两点,求 ；
(II)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 ,设点是曲线 上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）当时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若对任意 ，不等式 的解集为空集，求实数的取值范围．
安徽省淮北市2016届高三第二次模拟考试理文科数学答案
1. 【分析】
本题考查不等式的解法和集合的运算，求把集合M化成最简形式再求交集时，需要注意是否包含端点值.
【解答】
解：
.
则.
故选A.
2. 【分析】
使用诱导公式对两边进行化简，然后进行弦化切即可.
【解答】
解：根据诱导公式，原式等价于sinα=-2cosα,
所以tanα=-2.
故选D.
3. 【分析】
本题主要考查两条直线垂直的判定，由两直线垂直可知,可求出m的值，再和条件的m去比较就可以判定.
【解答】
解：
故选A.
4. 【分析】
由已知得数列是一个等比数列，套用公式求和即可.
【解答】
解：由已知得，
所以数列是一个公比为-2，首项为-1的等比数列，
，
故选B.
5. 【分析】
本题考查了椭圆和双曲线的标准方程与a，b，c的关系，考查椭圆离心率的定义，由双曲线的标准方程可求焦点坐标得到椭圆方程的c，再由椭圆离心率求出a即可.
【解答】
解:由题得椭圆是X型的，设椭圆的标准方程为：,
由双曲线的方程可得其焦点为，即得c=2,
因为椭圆的离心率，所以a=4，因为,
所以椭圆的标准方程是：.
故选C.
6. 【分析】
这是已知函数表达式，判断其图像的问题，综合性较强，又可以从多个角度进行分析和甄别。一般根据函数的奇偶性，特殊值，单调性来判断。必要时可用导数研究函数的单调性.
【解答】
解：f(0)=1,可判断只有A和C,
f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,
可知再x=0的右边的附近区域导数为正，函数单调递增.
故选C.
7. 【分析】
本题考查了几何概型的面积问题，需要求出铜钱和方孔的面积，再用方孔的面积比上铜钱的面积即可，注意题中给出的是铜钱的直径而不是半径.
【解答】
解：如图所示：
∵，
∴．
故选D．
8. 【分析】
本题主要考查了方差的计算，算法和程序框图.先弄清该算法功能，
S=0+（1-2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可.
【解答】
解：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则.
故选A.
9. ，[分析】
本题考查二元一次不等式组表示的平面区域和目标函数的几何意义，当z在平面区域内移动时的最值问题.
[解答】
解：
不等式表示的区域如图所示：
z表示的是一组平行的直线系，由图可知，当z过A点时z最小值，
A点的坐标是：，此时z=1.
故选B.
10. 【分析】
本题主要考查平面向量的的基本定理和向量的加减运算.
【解答】
解：∵=
=
=-y，
∵，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，
∴y，
∵，
∴
故选C．
11. 【分析】
本题考查几何体的三视图，由三视图还原出几何体，本题求外接球的半径是关键，补形法是求半径最常见的一种方法.
【解答】
解：由三视图补成一个长方体，且同一顶点处的三棱长分别是3,4,5，
长方体的外接球的直径，
所以外接球的体积是
故选D.
12. 【分析】
构造函数g(x)=,利用导数研究函数的单调性，再利用单调性可得答案.
【解答】
解：构造函数g(x)=，
因为f(x)为单调递增函数，
所以若对任意 的总有f'(x)>0,
所以
又因为,
所以,
所以
所以（x>-1),
所以g(x)为(-1,+∞)上的单调递增函数.
又因为e<π ,
所以g(e)<g(π),
即.
故选B.
13【分析】
考查复数的四则运算，其中除法运算先通过分子分母同时乘以分母的共轭复数对分母实数化转化成乘法运算.
【解答】
解：∵，∴.
故答案为.
14【分析】考查利用导数求函数的单调区间，尤其需要注意定义域对函数的限定.
【解答】
解：函数的定义域是，∵，
令解得x<1且，
∴函数的单调递减区间是( 0,1)和（，0).
故答案为( 0,1)和（，0).
15【分析】
考查解析几何中的最值问题，往往通过数形结合法，先表示出三角形的面积，分析式子求出最值.
【解答】
解：∵，
∴当∠AOB为直角时三角形的面积最大，此时是等腰直角三角形，圆心到直线的距离为1，
设直线l的方程为y=k（x-2）即kx-y-2=0，∴，解得x=.
故答案为.
16【分析】
考查等差数列的应用，本题的关键是求出比值后是一个跟n无关的式子去求d值.
【解答】
解：设等差数列的公差为d（），则等差数列的通项公式为，
前n项和为，前2n项和为，
∵为常数，
∴解得d=2，∴.
故答案为.
13.
14. 和 （ 或写成 和 ）
15.
16.
17. 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知:
，即.
由余弦定理知:
，
在上单调递减，
的最大值.
（II）,，
又
在中由余弦定理得：.
18. （I）证明：取AB的中点M，
连接，
，
(II)解：不存在点G,
假设存在点G,
19. 解：（I）初中[70,80）间共有40×0.015×10=6 人，
从6人中选2名同学有C62=15种不同的选择，每种选择都是等可能的.
全是女同学的方法有C42=6种,
所以都是女同学的概率为，
所以至少有一名男同学的概率为.
（II）
成绩小于60分人数
成绩不小于60分人数
合计
初中年级
20
20
40
高中年级
28
12
40
合计
48
32
80
由，
知只有的把握认为“两个学段的学生对”四大名著”的了解有差异”.
20. 解：( I )由题得直线AB的方程是：即bx-ay=ab.
∵原点到直线AB的距离为∴，
又∵b=得b=，解得a=2，
所以椭圆C的方程是;
( I )∵,显然，，
∴，∴即，
显然直线的斜率存在设为k，则直线的方程是y=k（x+1），
令x=4，解得y=5k，∴P（4,5k），同理可得Q（4，），
设点M（x，y）是以PQ为直径的圆上任意一点，则,∵=（4-x，5k-y），
∴圆的方程是，即，
令y=0，解得，
∴以PQ为直径的圆过定点，且定点坐标是.
21. 解：(Ⅰ)依题意，，
所以，
其定义域为
当时，，
令，解得：，
当时，，
当时，
所以当时，有极小值，无极大值.
(Ⅱ)，
当时，，
故当时，，
所以在单调递减，
此时，
=
依题意，只需
即：
而当，
所以.
22. 解：（1）连接OD
∵∠ABC＝∠ODB＝∠ACB
∴OD∥AC
又∵DE是切线
∴OD⊥DE
∴AC⊥DE
（2）由（1）知OD∥AC，O是AB的中点
∴D是BC的中点
∴CD＝BD
∵AB是圆O的直径
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∴在直角三角形ACD中，＝CE·CA
∴=CE·CA.
23. 解：（1）的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为，，
则.
（2）的参数方程为(θ为参数).故点的坐标是，
从而点到直线的距离是,
由此当时，取得最小值,且最小值为.
24. （Ⅰ）解：当 时， 等价于 ．
①当 时，不等式化为 ，无解；
②当 时，不等式化为 ，解得 ；
③当 时，不等式化为 ，解得 .
综上所述，不等式 的解集为 ．
（Ⅱ）因为不等式 的解集为空集，所以 ．
以下给出两种思路求 的最大值.
方法1：因为 ，
当 时，
．
当 时，
．
当 时，
．
所以 ．
方法2：因为
，
当且仅当 时取等号．
所以 ．
因为对任意 ，不等式 的解集为空集，
所以 ．
以下给出三种思路求 的最大值.
方法1：令 ，
所以 ．
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 ．
所以 的取值范围为 ．
方法2：令 ，
因为 ，所以可设 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立．
所以 的取值范围为 ．
方法3：令 ，
因为 ，设 则 (0≤x≤1， 0≤y≤1）.
问题转化为在 (0≤x≤1， 0≤y≤1） 的条件下，
求 的最大值．
利用数形结合的方法容易求得 的最大值为 ，
此时 ．
所以 的取值范围为 ．
