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岳阳市2017届高三教学质量检测试卷（二）
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，复数满足，则的值为 （ ）
A．2 B．3 C． D．5
3. 设数列是等差数列，为其前项和，若，则（ ）
A． 4 B．-22 C． 22 D． 80
4. 函数的图象大致是（ ）
A． B．
C. D．
5.已知是球表面上的点，平面，则球的表面积等于 （ ）
A． B． C. D．
6. 若直线与抛物线相交于两点，则等于（ ）
A． B． C. D．
7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）
A． B． C. D．
8. 执行如下图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． 1 B． C. D．
9. 已知点在角的终边上，函数图象上与轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为（ ）
A． B． C. D．
10. 设，若关于的不等式组，表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
11. 已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12. 已知直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题，第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.
13.如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为 ．
14.若点是函数的一个对称中心，则 ．
15.已知函数，若恒成立，则的取值范围是 ．
16.已知函数，数列中，，则数列的前100项之和 ．
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在锐角中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
18. 某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”水价，将该市每户居民的月用水量划分为三档：月用水量不超过4吨的部分按2元/吨收费，超过4吨但不超过8吨的部分按4元/吨收费，超过8吨的部分按8元/吨收费.
（1）求居民月用水量费用（单位：元）关于月用电量（单位：吨）的函数解析式；
（2）为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得今年3月份100户居民每户的用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年3月份用水费用不超过16元的占66%，求的值；
（3）在满足条件（2）的条件下，若以这100户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用水量的概率.且同组中的数据用该组区间的中点值代替.记为该市居民用户3月份的用水费用，求的分布列和数学期望.
19.如图所示，正三角形所在平面与梯形所在平面垂直，，，为棱的中点.
（1）求证:平面；
（2）求证：平面；
（3）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
20.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，与圆相交于两点，当的面积最大时，求弦的长.
21.已知函数(是自然对数的底数)在处的切线与轴平行.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: DDCBA 6-10: CABCD 11、12：AB
二、填空题
13. 14. 15. 16.-10200
三、解答题
17.（1）∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
即：，
∴，
∵为锐角三角形，∴，∴即；
（2）∵，∴由正弦定理有：，
∴由正弦定理有：，
∴，
∵，∴，
∴
∵为锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴.
18.（1）当时，；
当时，，
当时，.
所以与之间的函数解析式为：；
（2）由（1）可知，当时，，则，
结合频率分布直方图可知：，
∴；
（3）由题意可知：的可能取值为1，3，，5，7，9，11.
则，
所以的分布列：
1 3 5 7 9 11
0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05
．
19.（1）如图，取中点，连接，因为为中点，所以且，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.
平面，平面，∴平面.
（2）又因为为正三角形，所以，
又因为面面，面面.面，
所以面，.又因为，所以面，所以面.
（3）
取中点，再连接.易证面，所以为直线与平面所成的角，即，设，可求得.
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
所以，
设平面的法向量为，则，令，得
，所以，
设面的法向量为，则，令，得，，
所以，所以，
因为二面角为钝角，其余弦值为.
20.（1）设椭圆的标准方程为，
依椭圆的定义可得：
∴，∵，∴，
∴椭圆的标准方程为：.
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程化简得：，
设，则，
的面积，
令，则，当且仅当，即时取等号.
此时，直线的方程为，圆心到的距离为，又圆半径为，故所求弦长为.
21.（1），由已知得，得，则.
令，解得或，故函数的单调递增区间为和.
（2）不等式，可化为，记，，
当时，恒成立，则在上递增，没有最小值，故不成立；
当时，令，解得，当时，；当时，
，当时，函数取得最小值，
即，则，
令，，令，则，当时，；当时，，故当时，取得最大值，所以，即的最大值为.
22.（1）∵，∴，∴，
∴曲线的直角坐标方程为：，
∵直线过点，且倾斜角为，
∴直线的参数方程为：（为参数），
即（为参数）.
（2）设两点对应的参数分别为，
将直线与曲线的方程得：，
∴，∴.
23.（1）①，解得：；
②无解；
③解得：；
∴原不等式的解集为；
（2）∵，
∴，
∴，使成立，
∴，解得：或，
∴实数的取值范围为：或.
