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陕西省咸阳市2017届高三模拟考试（三）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出了欧拉公式： ．被后人称为“最引人注目的数学公式”．若 ，则复数 对应复平面内的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.某人从甲地去乙地共走了500 ，途经一条宽为 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品未掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为 ，则河宽大约为（ ）
A． B． C． D．
4.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．9 B．15 C．18 D．36
5.已知 ， ，则 ， 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6.抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，连接 并延长交抛物线 于点 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7.已知如图所示的程序框图的输入值 ，则输出 值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
9.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知双曲线 ， 的两条渐进线均与圆 ： 相切，则该双曲线离心率等于（ ）
A． B． C． D．
11.给出下列四个命题：
①回归直线 恒过样本中心点 ；
②“ ”是“ ”的必要不充分条件；
③“ ，使得 ”的否定是“对 ，均有 ”；
④“命题 ”为真命题，则“命题 ”也是真命题．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12.设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设 ，数列 的通项公式为 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知正项等比数列 中， ，其前 项和为 ，且 ，则 ．
14.将函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移2个单位所得图象对应函数的解析式是 ．
15.已知函数 ， ， ，则 的取值范围是 ．
16.学校艺术节对同一类的 ， ， ， 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：
甲说：“ 或 作品获得一等奖”
乙说：“ 作品获得一等奖”
丙说：“ ， 两项作品未获得一等奖”
丁说：“ 作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在 中， ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）设 （ ， ），求 的取值范围．
18.根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区 的年平均浓度不得超过35微克/立方米， 的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年30天 的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，将这30天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图．
（Ⅰ）求图中 的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， 为 的中点，
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积．
20.已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 上， ， ，过 与坐标轴不垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为 ， 的中点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，且 ，求直线 所在的直线方程．
21.已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）证明： ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）把 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 与 交点的极坐标（ ， ）．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 （ ）．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 为 的最小值，且 （ ， ），求 的最小值．
文科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵ ，∴ ，又 ， ，
则 ，
∵ 为 的内角，∴ ．
（Ⅱ）∵ （ ， ），∴ ．
，
又 （ ， ），则 ， ，
∴ ，即 的范围是 ．
18.解：（Ⅰ）由题意知 ，则 .
（Ⅱ） （微克/立方米）,
因为 ，所以该居民区的环境质量需要改善．
19.证明：（Ⅰ）设 与 相交于点 ，连接 ．
由题意知，底面 是菱形，则 为 的中点，
又 为 的中点，所以 ，且 平面 ， 平面 ，
则 平面 ．
（Ⅱ） ，
因为四边形 是菱形，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 ，
又 ，所以 平面 ，
即 是三棱锥 的高， ，
则 ．
20.解：（Ⅰ）由 ，得 ，
因为 ， ，
由余弦定理得 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）因为直线 的斜率存在，设直线方程为 ， ， ，
联立 整理得 ，
由韦达定理知 ， ，
此时 ，又 ，则 ，
∵ ，∴ ，得到 或 ．
则 或 ，
的直线方程为 或 ．
21.解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， ，又切点为 ，
所以切线方程为 ，即 ．
（Ⅱ）设函数 ， ， ，
设 ， ，则 ，令 ，则 ，
所以 ， ； ， ．
则 ，
令 ，
所以 ， ； ， ；
则 ，从而有当 ， ．
22.解：（Ⅰ）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
则曲线 的普通方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程 ，曲线 的极坐标方程为 ，联立得 ，又 ，则 或 ，
当 时， ；当 时， ，所以交点坐标为 ， ．
23.证明：（Ⅰ） ，
当且仅当 时取“”号．
（Ⅱ）由题意知， ，即 ，即 ，
则 ，
当且仅当 ， 时取“ ”号．
