2013湖北高考模拟数学文试题及答案
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湖北省重点高中2013届高三五月模拟考试
数学（文科）
考试时间：2013年5月17日下午15：00-17:00 满分150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列复数在复平面内对应的点不在圆 上的是（ ）
A． B． C． D．
2．命题 的否定 是（ ）
A． B．
C． D．
3．流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以
被输出的函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的图象在点 处的切线L与直线 平行，若数列 的前n项和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．等差数列 的公差为 ，且 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知命题 是 的充要条件，命题 ，则 ( )
A. 为真 B. 为真 C. 真 假 D. 均为假
8．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长
与圆的直径均为2，则该几何体的表面积为( )
A． B．
C． D．
9．由不等式组 围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于 的函数 ，则（ ）
A． B． C． D． 符号不确定
10．已知抛物线 的准线为l，点Q在圆C： 上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.
11．已知集合 ，则 ▲ .
12．若双曲线 的离心率是 ，则实数 的值是 ▲ .
13．设函数 ，若函数 为偶函
数，则实数 的值为 ▲ ．
14．函数
在 上的部分图象如图所示，则 的
值为 ▲ ．
15．在平行四边形 中， 和 分别是边 和 的中点， ，其中 ▲ ．
16．已知函数 满足：①定义域为R；② ，有 ；③当 时， ．记 .根据以上信息，可以得：（1） ▲ ； （2）函数 的零点个数为 ▲
17．图(1)是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)，……，则：（1）第 个图形的边长 ▲ ；（2）第 个图形的面积 ▲ ；
三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分12分）某驾校在报名者中随机抽取10人，检查得到他们的视力状况的茎叶图（如图）（小数点前一位为茎，小数点后一位为叶），若视力不低于4.8，则称该报名者“视力过关”. 图中数据的平均数为4.82，
（Ⅰ）求茎叶图中的数字 和这组数据的中位数；
（Ⅱ）若共有500人报名，据此估计报名者中“视力过关”的人数。
4 x 8 5 6 2 8
5 2 1 1 0
19．（本小题满分12分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c， .
（Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值.
20．（本小题满分13分）已知直三棱柱 中， ， 为 中点， 为 中点，侧面 为正方形。
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设 ，若 ，
求这个三棱柱体积的最大值。
21．（本小题满分14分）椭圆 的左,右焦点分别为 , ,左,右顶点分别为 .过 且垂直于 轴的直线与椭圆 的一个交点为 .
(1) 求椭圆 的标准方程;
(2) 动直线 与椭圆 交于 , 两点, 直线 与 交于点 .当直线 变化时, 点 是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.
22．（本小题满分14分）已知函数 ．
（Ⅰ）求证：函数 在区间 上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应 的近似值（误差不超过 ）；（参考数据 ， ， ）
（Ⅱ）当 时，若关于 的不等式 恒成立，试求实数 的取值范围.
湖北省重点高中2013届五月模拟考试
数学（文科）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B B C A B C A
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15.
16.（1） ；（2） 17. （1） ；（2）
三.解答题
18．解（Ⅰ） ， …… 3分
又均值为4.82 ， 中位数为4.85 …… 8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得样本中“视力过关”的概率为 ，所以在新学员中 ……10分
约有 人“视力过关” ……………… 12分
19．（本小题满分12分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，
.
（1）求 ；（2）求△ABC面积的最大值.
解（Ⅰ） ， 则
……………………5分
（Ⅱ） ，则 ， …… 8分
所以△ABC面积 ……10分
又因为由（Ⅰ）得 ，故
当且仅当 时，面积 取得最大值 ……12分
20．解（Ⅰ） 直三棱柱 中，侧面垂直于底面，又 ， 为 中点，故
所以 ,所以 …………… 2分
为正方形，又 为 中点， 为 中点，
所以 …………… 4分
,所以 …………… 6分
（Ⅱ）
…………… 8分
令
则 ，令 ，得 或 （舍去） …… 10分
因为 时， ， 时，
所以 在 递增，在 递减，故 ，此时
所以当 时， 取最大值 ………… 13分
21． 解（Ⅰ） , . 点 在椭圆上, ………2分
,
或 (舍去). .
椭圆 的方程为 . ………5分
（Ⅱ）当 轴时, , , 又 ,
, , 联立解得 .
当过椭圆的上顶点时, , ,
, ,联立解得 .
若定直线存在,则方程应是 . ………8分
下面给予证明.
把 代入椭圆方程,整理得,
成立, 记 , ,则 , .
, ………11分
当 时,纵坐标 应相等, , 须
须 , 须 而 成立.
综上,定直线方程为 …………14分
22．解：（Ⅰ） ， ………………………………………………1分
∵ ， ，
∴ ． ……………………………………………………………3分
令 ，则 ， ……………………4分
∴ 在区间 上单调递增，
∴ 在区间 上存在唯一零点，
∴ 在区间 上存在唯一的极小值点． ……………………………6分
取区间 作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
① ，而 ，∴ 极值点所在区间是 ；
② 又 ，∴ 极值点所在区间是 ；
③ ∵ ，∴ 区间 内任意一点即为所求． ……9分
（Ⅱ）由 ，得 ，
∵ ， ∴ ， ……………………………………10分
令 ，则 ， …………………12分
∵ ， ∴ ， ∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ． …………………………………………14分
