绝密★启用前
潮州市2014-2015年高中毕业班第二次统一检测题
数 学（理科）
本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：
球的表面积
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．若复数 是纯虚数( 是虚数单位， 是实数)，则 等于（ ）
A. -1 B. C.2 D. 3
2．为了了解潮州市居民月用电情况，抽查了该市100户居民月用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据下图可得这100户居民月用电量在〔150,300〕的用户数是（ ）
A. 70
B. 64
C. 48
D.30
3．已知数列 的前n项和 ，则 的值为（ ）
A. 9 B. 16 C.21 D.11
4. 在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
5．执行右边的程序框图，若输出 ，则输入 （ ）
A.6 B. 7 C.8 D.9
6. 设集合 , ,
则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又必要条件
7．已知 ， ， 三点共线，其中 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知奇函数 的导函数 在R恒成立，且 满足不等式
，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9－13题）
9．设随机变量 服从正态分布 ，若 则 ________.
10．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
得该几何体的表面积是________.
11．已知 为正偶数，且 的展开式中第3项的
二项式系数最大，则第3项的系数是 ．（用数字作答）
12．抛物线 上到焦点的距离等于6的点的坐标为 ．
13．函数f（x）=sin ( )的导函数 的部分图像右图所示，其中
A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点，P为图像与y轴的交点．
若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程 ，
直线的极坐标方程为 ，
则圆心到直线距离为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图所示，⊙ 的两条切线 和 相交于点 ，与⊙ 相切于 两点， 是⊙ 上的一点，若 ，则 ________.
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知向量 ， ,函数 的最大值为2．
（1）求 的最小正周期和解析式；
（2）设 ， ， ，求 的值．
17．（本小题满分12分）
甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立。
（1）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）若每局比赛胜利方得1分，对方得0分，求甲最终总得分X的分布列及数学期望。
18．（本小题满分14分）
如图1,平面五边形SABCD中 沿AD折起成.如图2，使顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心 ， 为 上一点， .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的正弦值。
19．（本小题满分14分）
已知数列 的前n项和 满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ；
（3）证明： ．
20.（本小题满分14分）
已知直线 过椭圆 的一个焦点和一个顶点。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且 ，直线BD与 轴交于点M，求常数 使得
21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）当a=0时，求函数 的单调区间；
（2）当a=1时，设 ，
（i）若对任意的 ， 成立，求实数k的取值范围；
（ii）对任意 ,证明：不等式 恒成立.
潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试
数学(理科)参考答案及评分说明
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A B A D D
解析：
5． .
6. , ，当 时， ， ,反之，若 ，不一定有 ，
7.由 共线，有2a+b=1有
.
8. 因为函数y= 为奇函数，所以 ，由函数y= 的导函数 在R恒成立，知函数y= 为减函数，
即 ，故 的最小值为0，最大值为直径 ，
从而 的最小值为0，最大值为直径的平方8
二、填空题：
9. ； 10. 12π ； 11. ； 12. ； 13. ；
14. ； 15.
解析：
13.由图知 ， ，设AC的横坐标分别为 .
设曲线段 与x轴所围成的区域的面积为 则
，
由几何概型知该点在△ABC内的概率为 .
三、解答题：
16．解：（1） …3分
的最小正周期 ……………………………………………4分
因为 ，由题意知A=2, ……………………………5分
所以 ……………………………6分
（2）
………8分
……………………………10分
…………………12分
17解:用A表示“乙在4局以内（含4局）赢得比赛”， 表示“第 局乙获胜”， 表示“第 局甲获胜”，则 ………………1分
（Ⅰ）
…………………4分
（Ⅱ） 的可能取值为0,1,2,3 ……………………………5分
……………………………6分
……………7分
………………………9分
故 的分布列为
0 1 2 3
……………………………12分
18.解：（Ⅰ）证明：题知四边形 为菱形， 为菱形中心，连结 ，则 ，
因 ，故 ……………………………1分
又因为 ，且 ，在 中
…3分
所以 ，故 即 ………………………4分
又顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心 有 ，
所以 , ……………………………5分
从而 与平面SOM内两条相交直线OM, SO都垂直，所以 ………6分
（Ⅰ）法二如图2，连结 ，因 为菱形，则 ，且 ，
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系 ， ……………………………2分
因 ，故
所以 …3分
由 知，
从而 ，即 …………………4分
题意及如图2知 ,有 , ………………………5分
所以 ……………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ,
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 …8分
由 得
故可取 ………………………………………………9分
由 得
故可取 ……………………………………………………11分
从而法向量 的夹角的余弦值为 ……………13分
故所求二面角 的正弦值为 . ……………………………14分
19.解：（1）由 ①得 ②
②-①：有 …………………………2分
即 ， …………………………4分
又 ，由②有 知 ………………5分
∴数列 是以6为首项，公比为3的等比数列，∴ …6分
（2）由（1）得： ， ……………………………7分
得 ， …8分
（3）证法一：由（2）得：由 ……………………………9分
∵ ………………………11分
∴ ……………12分
………14分
证法二：
………………………12分
………………………14分
证法三：当 时，不等式显然成立，
当 时，令 …11分
……………………………12分
. …………14分
综上得命题得证.
证法四：令 下面用数学归纳法证明，
①当 时，结论显然成立 ……………………………9分
②假设当 时，结论成立，即 ，
当 时，
左边=
所以当 时，结论也成立 ……………………………13分
综合①、②可知 即 对 都成立. …14分
20.解：（1）直线 过两点 ………………………1分
因为椭圆 的焦点在x轴时，
故焦点为 ，顶点为 ………………………………………2分.
………………………………………3分.
………………………………………4分.
所以，所求椭圆C的方程为 ………………………………………5分
（2）设 ，则 ，直线AB的斜率 ，…6分
又 ，所以直线AD的斜率 ， …………………………………7分
设直线AD的方程为 ，由题意知 ， ………………………8分
由 ，可得 .
所以 ， …………………………………………9分
因此 ，
由题意知， ，所以 ， ……………………………11分
所以直线BD的方程为 ，
令 ，得 ，即 .
可得 . …………………………………………13分
所以 ，即 .因此存在常数 使得结论成立. ………………14分
21.解：（Ⅰ）当a=0时， ， …1分
…………………2分
……………4分
（Ⅱ）当a=１时， …………………5分
（i） 不恒成立， 舍去 …6分
则 …………………7分
令 得
…………………8分
………………9分
综上： …………………10分
（ii）要证明
只需证明
只需证明 …………………11分
即证明 ,令 ，则需证明 …12分
令 ，则
故不等式 得证 …………………14分
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