江西赣中南五校高三下学期开学第一次联考数学2.19
试题部分（文）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 为
A. (0，＋) B. (1，＋ ) C. [2，＋ ) D.［1，＋ )
2. 已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形 (如图所示),则它的体积为
A. B.
C. D.
3. 已知倾斜角为的直线 与直线 垂直，则 的值为
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5．函数 在定义域内的零点的个数为
A.0 B．1 C．2 D．3
6. 若非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
7. 如图所示，点 是函数 图象的一个最高点， 、 是图象与 轴的交点，若 ，则 等于
A.8 B.
C. D.
8． 的外接圆的圆心为O，半径为1， 且 ，则向量 在向量 方向上的投影为
A. B. C. D.
9．已知实数 满足： ， ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
10．已知函数 对任意的 满足 (其中 是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
11．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为
A.m≥2 B. m≤－2或m>－1
C. m≤－2或m≥2 D.－1＜m≤2
12. .已知函数 ,n∈N*的图象与直线 交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为 ，则 ＋ ＋…＋ 的值为
A.－1 B. 1－log20132012 C.-log20132012 D.1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列 为等差数列， ， ，则 .
14.若直线 过曲线 的对称中心，
则 的最小值为 .
15.设三棱柱 的侧棱垂直于底面， ，
且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 .
16. 数列 的通项为 ，前 项和为 ，则 = ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an ,n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和， 已知b1≠0，2bn–b1=S1 Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bn log3 an，求数列{cn}的前n项和Tn .
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱 中， , ,
, 分别为棱 的中点．
（Ⅰ）求证: ∥平面 ；（Ⅱ）若异面直线 与 所成角为 ，
求三棱锥 的体积．
19.（本小题满分12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．
（Ⅰ）求抽取的学生人数；
（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；
（Ⅲ）已知 求语文成绩为A等级的总人数
比语文成绩为C等级的总人数少的概率.
20.（本小题满分12分）已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 与以椭圆 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为椭圆 上一点，若过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点
和 ，满足 （ 为坐标原点），求实数 的取值范围.
21. （本小题满分12分）已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求 在区间 上的最大值；
（Ⅱ）若在区间（1， +∞）上，函数 的图象恒在直线 下方，
求 的取值范围．
四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形 内接于⊙ ，过点 作⊙ 的
切线 交 的延长线于 ，已知 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： ．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线 方程为 ; 的参数方程为 （ 为参数）．
（Ⅰ）写出曲线 的直角坐标方程和 的普通方程；
（Ⅱ）设点 为曲线 上的任意一点，求点 到曲线 距离的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于 的不等式 ，其解集为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， 均为正实数，且满足 ，求 的最小值.
2016江西五校联考高三下学期第一次考试(2月)数学
文科试题解析版
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 为 (B)
A. (0，＋ ) B. (1，＋ ) C. [2，＋ ) D.［1，＋ )
2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为 (D)
A. B.
C. D.
3. 已知倾斜角为的直线 与直线 垂直，则 的值为 (B)
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ C ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5．函数 在定义域内的零点的个数为（ C ）
A.0 B．1 C．2 D．3
6. 若非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 (A)
A. B. C. D.
7. 如图所示，点 是函数 图象的最高点， 、 是图象与 轴的交点，若 ，则 等于 (C)
A. B.
C. D.
8． 的外接圆的圆心为O，半径为1， 且 ，则向量 在向量 方向上的投影为 ( A )
A. B. C. D.
9．已知实数 满足： ， ，则 的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
10．已知函数 对任意的 满足 (其中 是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是 (A)
A. B.
C. D.
11．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为 (B)
A．m≥2 B．m≤－2或m>－1
C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2
12. .已知函数 ,n∈N*的图象与直线 交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为 ，则 ＋ ＋…＋ 的值为（ A ）
A.－1 B. 1－log20132012 C.-log20132012 D.1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列 为等差数列， ， ，则 2
14.若直线 过曲线 的对称中心，
则 的最小值为___ _____.
15．设三棱柱 的侧棱垂直于底面， ，
且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 .
16．数列 的通项为 ，前 项和为 ，则 = 200 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an ,n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，
已知b1≠0，2bn–b1=S1Sn，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=bnlog3an，求数列{cn}的前n项和Tn；
解：（1）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为an=3n–1． ………………2分
∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，
∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．
∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，
∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为bn=2n–1． …………6分
（2）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，
Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ①
2Tn= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ②
①–②得：–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n
=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2． …………12分
18.（本小题满分12分）．如图，在直三棱柱 中， , , , 分别为棱 的中点．
（1）求证: ∥平面 ；
（2）若异面直线 与 所成角为 ，
求三棱锥 的体积．
解：（1）证明：取 的中点 ,连接 , 因为 分别为棱 的中点，
所以 ∥ , ∥ , , 平面 ,
平面 ,所以平面 ∥平面 ，
又 平面 ,所以 ∥平面 . ……………………………………4分
（2）由（Ⅰ）知 异面直线 与 所成角,所以 , ……………6分
因为三棱柱 为直三棱柱，所以 平面 ,所以 平面 , , , ,
由 ,
平面 , ……………………10分
所以 . ……………………12分
19. （本小题满分12分）．已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．
（1）求抽取的学生人数；（2）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；
（3）已知 求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为
C等级的总人数少的概率.
解：（1）由题意可知 ＝0.18，得 .故抽取的学生人数是 .…………..2分
（2） 由（Ⅰ）知 ， ，故 ， …………..4分
而 ，故 . …………..6分
（3）设“语文成绩为 等级的总人数比语文成绩为 等级的总人数少”为事件 ，
由（2）易知 ，且 满足条件的 有
共有 组，其中 的有 组， …………..11分
则所求概率为 . …………..12分
…………..12分
20.（本小题满分12分）已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰
直角三角形，直线 与以椭圆 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上一点，若过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ，满足 （ 为坐标原点），求实数 的取值范围.
解：（1）由题意，以椭圆 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为 ，
∴圆心到直线 的距离 （*）………………………………1分
∵椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴ , ， 代入（*）式得 ， ∴ ，
故所求椭圆方程为 ……………………………………………………4分
（2）由题意知直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，设 ，
将直线方程代入椭圆方程得： ，
∴ ，∴ .
设 , ，则 ， …………………6分
由 ，
当 ,直线 为 轴， 点在椭圆上适合题意； …………………………………7分
当 ，得
∴
将上式代入椭圆方程得： ，
整理得： ，由 知， ，所以 ， ……………………………………………………………11分
综上可得 . ……………………………………………………………12分
21.（本小题满分12分）已知函数 .
（1）当 时，求 在区间 上的最大值；
（2）若在区间（1， +∞）上，函数 的图象恒在直线 下方，求 的取值范围．
解：（1）当 时
……………1分
当 ,有 ；当 ，有 ， 在区间
上是增函数，在 上为减函数， …………… 3分
又 ……………4分
（2）令 ，则 的定义域为
在区间 上，函数 的图象恒在直线 下方
等价于 在区间 上恒成立. ……………………5分
①
①若 ，令 ，得极值点
当 ，即 时，在（ ，1)上有 ，在 上有 ，
在 上有 ，此时 在区间 上是增函数，
并且在该区间上有
不合题意；
当 ，即 时，同理可知， 在区间 上，有
，也不合题意； ……………………8分
② 若 ，则有 ，此时在区间 上恒有 ，
从而 在区间 上是减函数；
要使 在此区间上恒成立，只须满足 ，
由此求得 的范围是 。 ……………………11分
综合①②可知，当 时，函数 的图象恒在直线 下方.
……………12分
四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形 内接于⊙ ，过点 作⊙ 的切
线 交 的延长线于 ，已知 .
证明：（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
解：（Ⅰ）∵ 与⊙ 相切于点 ，
∴ . …………………2分
又 ，
∴ ，
∴ . …………………………5分
（Ⅱ）∵四边形 内接于⊙ ，
∴ ， ……………………………………………………………6分
又 ， ∴ ∽ .
∴ ，即 ，∴ . ………………………10分
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 方程为 ． 的参数方程为 （ 为参数）．
（I）写出曲线 的直角坐标方程和 的普通方程；
（II）设点 为曲线 上的任意一点，求点 到曲线 距离的取值范围．
解：（I） 的直角坐标方程： ，
的普通方程： ． ………………4分
（II）由（I）知， 为以 为圆心， 为半径的圆，
的圆心 到 的距离为 ，则 与 相交，
到曲线 距离最小值为0，最大值为 ，
则点 到曲线 距离的取值范围为 ． ………………10分
24.（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
已知关于 的不等式 ，其解集为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， 均为正实数，且满足 ，求 的最小值.
24.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）不等式 可化为 ，
∴ ，即 , ……………………………………2分
∵其解集为 ，∴ ， . ………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
（方法一：利用基本不等式）
∵ ，
∴ ，∴当且仅当 时， 取最小值为 .……………10分
. （方法二：利用柯西不等式）
∵ ，
∴ ，∴当且仅当 时， 取最小值为 .……………10分
（方法三：消元法求二次函数的最值）
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴当且仅当 时， 取最小值为 .………………………………10分
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