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河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考
数学（文）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知 是虚数单位，则复数 （ ）
A． B．2 C． D．
2.命题“ ， ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知 ， ， ，则 的大小是（ ）
A． B．
C． D．
4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则 处的条件为（ ）
A． B． C. D．
5.将函数 的图象向左平移 个单位，所得的函数关于 轴对称，则 的一个可能取值为（ ）
A． B． C.0 D．
6.设 是公差不为零的等差数列 的前 项和，且 ，若 ，则当 最大时， （ ）
A．6 B．7 C.10 D．9
7.已知两个不同的平面 、 和两个不重合的直线 、 ，有下列四个命题：
①若 ， ，则 ； ②若 ，则 ；
③若 ， ，则 ； ③若 ，则 ，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8.设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
9.设三棱柱 的侧棱垂直于底而 ，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C. D．
10.在 中， ， ， ，则 在 方向上的投影是（ ）
A．4 B．3 C. D．5
11.如图，已知椭圆 的中心为原点 ， 为 的左焦点， 为 上一点，满足 且 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C. D．
12.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ， ， ，则 的大小关系是( )
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在 中， ， 的面积为 ，则 ．
14.圆心在直线 上的圆与 轴交于两点 ，则该圆的标准方程为 .
15.函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为 .
16.设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分12分)
已知等差数列 满足 ，前3项和 ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列 满足 ， ，求 前 项和 ．
18.（本小题满分12分）
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以 ， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求直方图中 的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为 ， ， ， 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？
19.（本小题满分12分）
如图， 是 的直径，点 是 上的动点， 垂直于 所在的平面 .
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）设 ，求三棱锥 的高.
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆 .
（Ⅰ）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）设 为平面直角坐标系上的点，满足：存在过点 的无穷多对相互垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标.
21.（本小题满分12分）
已知函数 （ 是自然对数的底数）， .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，其中 为 的导函数，证明：对任意 ， ．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图 是 直径， 是 切线， 交 与点 ．
（Ⅰ）若 为 中点，求证： 是 切线；
（Ⅱ）若 ，求 的大小．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ 是参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程 ．
（Ⅰ）判断直线 与曲线 的位置关系；
（Ⅱ）设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 图象与 轴围成的三角形面积大于6，求 的取值范围．
17届（高三）第一次联考
数学（文）试卷
试卷答案
一、选择题
1-5:DCABB 6-10:BDADC 11、12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解（Ⅰ）设 的公差为 ，则由已知条件得 ， .化简得 ，
解得 ，故通项公式 ，
即 .……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ，设 的公比为 ，则 ，从而 ，
故 的前 项和 .……………………………………12分
由 得：
，所以月平均用电量的中位数是224.
（Ⅲ）月平均用电量为 的用户有 户，月平均用电量为 的用户有 户，月平均用电量为 的用户有 户，月平均用电量为 的用户有 户，抽取比例 ，
所以月平均用电量在 的用户中应抽取 户.……………………12分
19.解：证明：（1）
∵ 是 的直径，点 是 上的动点，
∴ ，即 .…………………………1分
又∵ 垂直于 所在平面， 平面
∴ .……………………………………2分
∴
∴ 平面 .……………………………………4分
又 平面 ，
∴平面 平面 .…………………………6分
（2）由⑴的结论平面 平面 ，平面 平面 ，
∴过 点作 的垂线，垂足为 ，………………………………8分
在 中， ，∴ ，…………………………9分
由 ，
∴ ,
∴ 点到平面 的距离为 .…………………………………………12分
20.解：（Ⅰ）直线 的方程为 或 ，…………………………6分
（Ⅱ）设点 的坐标为 ，直线 的方程分别设为：
， ， ，
由题意得 ，
化简得 ，或 关于 的方程有无穷多解，
或 ，得点 的坐标为 或 ………………12分
21.解：（Ⅰ）由 ，得 ，……………………………………1分
，所以 ，………………………………3分
所以曲线 在点 处的切线方程为 .……………………4分
（Ⅱ） ， ，所以 .………………5分
令 得， ，因此当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.……………………7分
所以 在 处取得极大值，也是最大值. 的最大值为 .……8分
（Ⅲ）证明：因为 ，所以 ， ， ，
等价于 .……………………………………9分
由（Ⅱ）知 的最大值为 ，故 ，
只需证明 时， 成立，这显然成立.…………………………10分
所以 ，因此对任意 ， .……12分
22.解：（Ⅰ）连结 ，由已知得， ， ，
在 中，由已知得 ，∴ ，
连结 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ,
∴ 是圆 的切线.………………………………………………5分
（Ⅱ）设 ， ，由已知得 ， ，由射影定理可得， ，
∴ ，解得 ，∴ ，…………………………10分
23．解：（Ⅰ）直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标系下的方程为
，圆心 到直线 的距离为 所以直线 与曲线 的位置关系为相离……………………………………5分
（Ⅱ）设 ，
则 ………………………………10分
24．解：（Ⅰ）当 时，不等式 化为 ，等价于
或 或 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .………………………………5分
（Ⅱ）由题设可得， ，所以函数 的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ，所以 的面积为 .
由题设得 ，解得 ，所以 的取值范围为 .……………………10分
