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安徽省淮北市2016届高三第二次模拟考试理科数学
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.已知全集 ，集合 ，则 =（ ）
A.[2，3） B.（2，4） C.(3，4] D.(2，4]
2.复数 ，则 等于（）
A. B. C. D.
3.设 中变量x，y满足条件 ，则z的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列{ an}的前 n项和为 Sn ，点( n， Sn)在函数 f( x)= 的图象上，则数列{ an} 的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
5.过点 引直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，当 面积取最大值时，直线 的斜率为 ( ）
A. B. C. D.
6.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）
A.24种 B.28种 C.32种 D.16种
7.下列四个结论：
①命题“若 是周期函数，则 是三角函数”的否命题是“若 是周期函数，则 不是三角函数”；
②命题“ ”的否定是“
③在 中，“ ”是“ ”的充要条件；
④当 时，幂函数 在区间 上单调递减．
其中正确命题的个数是（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（）
A.10072 B.10082 C.10092 D.20102
9.已知函数 满足 对 恒成立，则函数（）
A. 一定为奇函数 B. 一定为偶函数 C. 一定为奇函数 D. 一定为偶函数
10.已知函数 若函数 只有一个零点，则实数 a的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
12.如图，已知点 为 的边 上一点， ， 为边 的一列点，满足 ，其中实数列 中 ， ，则 的通项公式为（）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共1小题，共5.0分)
13.函数 在区间 上的最大值是 .
14.设常数 ， 的二项展开式中 项的系数为40，记等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 ．
15.已知 ，抛物线 的焦点为 ，直线 经过点 且与抛物线交于 点，且 ，则线段 的中点到直线 的距离为 .
16.已知函数 ，存在 ， ，则 的最大值为( ).
三、解答题(本大题共8小题，共96.0分)
17.(本小题满分12分)在 中，边 分别是内角 所对的边，且满足 ，设 的最大值为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）当 为 的中点时，求 的长．
18.（本小题满分 12 分） 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 ， ， 内的频率之比为 ．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间 内的产品件数为 ，求 的分布列与数学期望．
19.（本小题满分12分）已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE.
（Ⅰ）若P是BC的中点，求证：DP∥平面EAB．
（Ⅱ）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．
20.（本小题满分12分）已知点 ，P是 上任意一点，P在 轴上的射影为 ， ,动点 的轨迹为C，直线 与轨迹 交于 ， 两点，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ．
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）以 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
21.（本小题满分12分）已知函数 .
(Ⅰ) 时，求 的单调区间和极值；
(Ⅱ) 时，求 的单调区间
( III )当 时，若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.
已知在三角形ABC中， AB=AC. 以 AB 为直径的 圆O 交 BC 于 D ，过 D 点作 O 的切线交 AC 于 E .求证：
(Ⅰ) DE垂直于AC
(Ⅱ) BD2=CE ·CA
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．
已知直线 为参数), 曲线 （ 为参数）.
(Ⅰ)设 与 相交于 两点,求 ；
(Ⅱ)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 ,设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．
设函数 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若对任意 ，不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围．
安徽省淮北市2016届高三第二次模拟考试理科数学答案
1. 【分析】
本题主要考查了交集的运算，首先化简两个集合，再利用补集与交集的运算法则计算出结果.
【解答】
解：由题意得：A={y|2≤y≤4}，B={x|3≤x≤4}.
则 ={x|2≤x＜3}.
故选A.
2. 【分析】
本题主要考查了复数的运算，首先利用复数的运算法则把z化简为最简结果，再利用求模公式计算出结果.
【解答】
解：
.
故答案为B.
3. 【分析】
本题主要考查了线性规划的基本运算,由直线交点计算出结果即可.
【解答】
解：的最小值，即求2x+y的最小值，当取K点时为最小值，
平移直线y=-2x到K（1,1）时取得最小值为2x+y=2+1=3,即Z最小值=8.
故选C.
4. 【分析】
本题主要考查了定积分的运算和数列的知识，首先由定积分的知识求出 f（x）的函数关系式，再利用数列的前n项和与通项公式之间的关系求解.
【解答】
解：∵ f( x)= = ，
∴
当n=1时， .
当n≥2时， .
当n=1时不符合上式.
则.
故选D.
5. 【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用基本不等式求出当圆心到直线的距离为1时，三角形的面积最大，从而利用点到直线的距离求解.
【解答】
解：由题意可知直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为y=k（x-2）.
则圆心到直线l的距离d= .
S= .
当且仅当 ，即 时取等号.
∴=1.
解得：k=.
故选C.
6. 【分析】
不同主要考查了组合的应用.把给出的问题分为两类：其中一位同学得到两本小说，其中一位同学得到1本小说和1本诗集，进而解答此题.
【解答】
解：因为没命同学至少1本书，则一定有两个同学得到两本书，这两本书可能是2本小说，也可能是1本小说和1本诗集，
则不同的分法为 .
故选D.
7. 【分析】
本题主要考查了命题的真假的判定. ①用否命题的定义进行判定；②根据特称命题的否定是全称命题进行判定； ③在由三角形的性质进行判定；④由幂函数的性质进行判定.
【解答】
解：①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）不是周期函数，则f（x）不是三角函数”，故①错误；
②命题“ ”的否定是“对于任意x∈R，x2-x-1≥0”，故②正确；
③在△ABC中，“sinA＞sinB”等价为a＞b，等价为“A＞B”，则，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件，故③正确．
④当 时，幂函数 在区间 上单调递减，是正确的.
则正确命题的个数为3.
故选C.
8. 【分析】
本题主要考查了程序框图与算法的循环结构，由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.
【解答】
解：第一次执行循环体，S=1，不满足退出循环的条件，i=3；
第二次执行循环体，S=4，不满足退出循环的条件，i=5；
第三次执行循环体，S=9，不满足退出循环的条件，i=7；
…
第n次执行循环体，S=n2，不满足退出循环的条件，i=2n+1；
…
第1008次执行循环体，S=10082，不满足退出循环的条件，i=2017；
第1009次执行循环体，S=10092，满足退出循环的条件，
故输出的S值为：10092
故选C.
9. 【分析】
本题主要考查的是三角函数的图像与性质.利用已知的等式确定出的一条对称轴.从而利用“左加右减，上加下减”的平移规律，以及偶函数的定义进行解答.
【解答】
解：由条件可知，即的一条对称轴.
又是由向左平移个单位得到的，
所以关于对称，
即为偶函数.
应选D.
10. 【分析】本题主要考查了函数的零点的知识，分析已知的条件，把方程的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，从而求出a的取值范围.
【解答】
解： ∵ 只有一个零点，∴方程 只有一个根，
∴函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象只有一个交点，
函数图象如下所示：
由图象可知 .故选B.
11. 【分析】
本题主要考查了由三视图由体积的知识.由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案.
【解答】
解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，
棱台的上下底面的棱长为2和4，
故棱台的上下底面的面积为4和16，
故选C.
12. 【分析】
本题主要考查了向量以及数列的知识.由向量的运算法则得出，证明{an+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得出结论.
【解答】
故选D.
13本题主要考查了导数的应用.利用导数确定出函数的单调区间，进而求出最大值.
【解答】
解：∵ ，
∴y′=1-2sinx.
所以，
故答案为.
14
【解答】
故答案为10.
15可得
，从而求出线段AB的中点到直线的距离.
【解答】
解：
故答案为.
16
【解答】
解：
故答案为 .
17. 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知， ，即 .
由余弦定理知， ，
在 上单调递减，
的最大值 .
（2）根据题意：利用余弦定理
又因为D是AC的中点，所以AD等于，
所以
18. 解：（Ⅰ）设区间 内的频率为 ，
则区间 ， 内的频率分别为 和
依题意得
解得 ．
所以区间 内的频率为 ．
（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以 服从二项分布 ，其中 ．
由（Ⅰ）得，区间 内的频率为 ，
将频率视为概率得
因为 的所有可能取值为0，1，2，3，
且 ， ，
， ．
所以 的分布列为：
所以 的数学期望为 ．
19. 证明：（1）取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，.
取AC的中点M，连接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四边形EMCD为矩形，
∴.
∴ED∥FP且ED=FP，
四边形EFPD是平行四边形．
∴DP∥EF，
而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，
∴DP∥平面EAB．
（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，
∵ED∥AC，
∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，
∴DC⊥平面ABC，
又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，
∴l⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．
20. 解：（Ⅰ）设 , ∴ ,
∵ .
∴
∵P在 上，
∴
所以轨迹 的方程为 ．
（Ⅱ）因为点 的坐标为
因为直线 与轨迹C于两点 ， ，
设点 （不妨设 ），则点 ．
联立方程组 消去 得 ．
所以 ，则 ．
所以直线 的方程为 ．
因为直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，
令 得 ，即点 ．
同理可得点 ．
所以 ．
设 的中点为 ，则点 的坐标为 ．
则以 为直径的圆的方程为 ，
即 ．
令 ，得 ，即 或 ．
故以 为直径的圆经过两定点 ， ．
21. 解：（Ⅰ） 时，
令 解得 ，当 时， 当 时，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
所以 的极小值是 ，无极大值；
（ II ）
① 当 时， ，令 解得： ，或 .
令 解得： ，
所以当 时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是 ；
② 当 时， ， 在 上单调递减；
③ 当 时， ，令 解得： ，或
令 解得： ，
所以当 时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是 ；
( III )由（ II ）知，当 时， 在 上单调递减.
所以 ，
因为存在 ，使不等式 成立，
所以 ，即
整理得 ，因为 ，所以
所以 ，所以 ，
的取值范围是 .
22. 证明：（1）连接OD、AD．
∵DE是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．又AB=AC，
∴BD=DC．
∴OD∥AC，DE⊥AC．
(II)由（I）得D为BC中点，
所以 .
所以 .
有
得 .
23. 解：（I） 的普通方程为 的普通方程为
联立方程组
解得 与 的交点为 , ,
则 .
（II） 的参数方程为 为参数).
故点 的坐标是 ,
从而点 到直线 的距离是 ,
由此当 时, 取得最小值,且最小值为 .
24. 解：（Ⅰ）当 时， 等价于 ．
①当 时，不等式化为 ，无解；
②当 时，不等式化为 ，解得 ；
③当 时，不等式化为 ，解得 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（Ⅱ）因为不等式 的解集为空集，所以
因为
，
当且仅当 时取等号．所以 ．
因为对任意 ，不等式 的解集为空集，所以
令 ，
所以 ．
当且仅当 ，即 时等号成立所以 ．
所以 的取值范围为 ．
