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江西省宜春市2017届高三第二次模拟考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2. 若集合，，若，则的值为（ ）
A．2或 B．或2 C．2 D．
3.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．40 C. 40或 D．40或
5.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（ ）
A．4 B．5 C. 2 D．3
6.一个四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．4
7.已知数列是等差数列，，，设为数列的前项和，则（ ）
A．3022 B． C. 2017 D．
8.若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（ ）
A．0 B． C. D．
9.将一个质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，若已知出现了点数5，则使不等式成立的事件发生的概率为（ ）
A． B． C. D．
10.已知分别为双曲线：()的左、右焦点，不同两点在双曲线上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最大值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
11.已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
12.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则 ．
14.已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，则切线方程为 ．
15.在三棱锥中，两两互相垂直，且，则的取值范围是 ．
16.已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数为，当时，，则不等式的解集为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图，某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园，已知角为，的长度均大于200米，现在边界处建围墙，在处围竹篱笆.
（1）若围墙、总长度为200米，如何可使得三角形地块面积最大？
（2）已知竹篱笆长为米，段围墙高1米，段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若，求围墙总造价的取值范围.
18.在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”.
（1）求乙班总分超过甲班的概率；
（2）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分.若主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望.
19.如图1，已知在菱形中，，为的中点，现将四边形沿折起至，如图2.
（1）求证：面；
（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率为双曲线离心率的一半，直线被椭圆截得的线段长为.直线：与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.设定义在区间上的函数的图象为，、，且为图象上的任意一点，为坐标原点，当实数满足时，记向量，若恒成立，则称函数在区间上可在标准下线性近似，其中是一个确定的正数.
（1）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围；
（2）已知函数的反函数为，函数，（），点、，记直线的斜率为，若，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23二题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于不同的两点.
（1）求的取值范围；
（2）以为参数，求线段中点轨迹的参数方程.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围.
宜春市2016～2017学年第二学期期末统考
数学试卷答案（理）
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C C B A B D C C A D A
二、填空题: 13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.解:(1)设(米)，则,所以(米2)
当且仅当时，取等号。即(米)，(米2)
(2)由正弦定理， 得
故围墙总造价
因为， 所以，
所以围墙总造价的取值范围为(元)
18. 解：（1）甲班前5位选手的总分为，
乙班前5位选手的总分为，
若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：
（90，98），（90，99），（91，99），共三个，
∴乙班总分超过甲班的概率为．
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，
∴的分布列为：
0 1 2 3 4
19. 证明：(1)∵四边形ABCD为菱形,且，
为正三角形， ∵为的中点
(注：三个条件中,每少一个扣1分)
（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.
，为二面角A-DE-H的一个平面角，
设则
由得
设平面的法向量为，则
令得
而平面的一个法向量为
设平面与平面所成锐二面角的大小为
则.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为
20. 解(1)设椭圆的方程为，
由题意可得
将代入椭圆得：
所以椭圆的方程为；
(2) 假设存在实数m,使则
由题意可得，
当时，
重合，
显然成立
当时，由可得
所以，
设，
由,可得 ①
把直线代入椭圆方程
可得
所以
由
所以
综上可得：的取值范围是.
21. 解: (1)由与，
得和的横坐标相同。
对于区间上的函数,,
则有
，再由恒成立,可得.故k的取值范围为
(2)由题意知, 令 .则
令 .则
当t<0时, ,单调递减;当t>0时, ,单调递增.
故当t≠0时, 0,即，
从而
所以.
由零点存在性定理可得：存在,使得
又 ,所以单调递增,故存在唯一的,使得.
由.故当且仅当时,
综上所述,存在,使成立,且的取值范围为
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
（22）解：（1）曲线的直角坐标方程为，将代入得（*）
由，得，又，
所以，的取值范围是；
（2）由（*）可知，，代入中，
整理得的中点的轨迹方程为 (为参数，
23.（1）原不等式可化为：或或
解得：，所以解集为：．
（2）因为，
所以 ，当时等号成立．
所以．
又，
故．
