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2017年咸阳市高考模拟考试试题（三）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出了欧拉公式： ．被后人称为“最引人注目的数学公式”．若 ，则复数 对应复平面内的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．9 B．15 C．18 D．36
4.下列命题中真命题的个数是（ ）
①函数 ，其导函数是偶函数；
②“若 ，则 ”的逆否命题为真命题；
③“ ”是“ ”成立的充要条件；
④命题 ：“ ， ”，则命题 的否定为：“ ， ”．
A．0 B．1 C．2 D．3
5.已知非零向量 ， 满足 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
6.抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，连接 并延长交抛物线 于点 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7.已知如图所示的程序框图的输入值 ，则输出 值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.设实数 ， 满足约束条件 若目标函数 的最大值为6，则 的值为（ ）
A． B．4 C．8 D．16
9.已知 为圆 ： 内任意一点，则点 落在函数 的图象与 轴围成的封闭区域内的概率为（ ）
A．0 B．1 C． D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11.在中国文字语言中有回文句，如：“中国出人才人出国中．”其实，在数学中也有回文数．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如：3位回文数：101,111,121，…，191,202，…，999．则5位回文数有（ ）
A．648个 B．720个 C．900个 D．1000个
12.设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设 ，数列 的通项公式为 ，则 （ ）
A．2017 B．2018 C．8068 D．4034
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知正项等比数列 中， ，其前 项和为 ，且 ，则 ．
14.设 ，将函数 的图象向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是 ．
15.学校艺术节对同一类的 ， ， ， 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：
甲说：“ 或 作品获得一等奖”
乙说：“ 作品获得一等奖”
丙说：“ ， 两项作品未获得一等奖”
丁说：“ 作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．
16.设数列 满足 ， ，且 ，用 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则 的值用 表示为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图，在 中， 是边 上的点，且 ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）设 （ ， ），求 的取值范围．
18.大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：
（Ⅰ）设 表示在这块地种植此水果一季的利润，求 的分布列及期望；
（Ⅱ）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
20.已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 上， ， ，过 与坐标轴不垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ， 的中点为 ，在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，说明理由．
21.设函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的最值；
（Ⅱ）若函数 有极值点，求 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）把 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 与 交点的极坐标（ ， ）．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 （ ）．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 为 的最小值，且 （ ， ），求 的最小值．
2017年咸阳市高考模拟考试试题（三）理科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ） ，
∵ ，∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
18.解：（Ⅰ）设 表示事件“水果产量为 ”， 表示事件“水果市场价格为 元/ ”，则 ， ．
∵利润产量 市场价格成本，
∴ 的所有可能取值为： ， ， ， ．
； ；
； ．
∴ 的分布列为：
28000 40000 44000 60000
0.2 0.2 0.3 0.3
（万元）．
（Ⅱ）设 表示事件“在销售收入超过5万元的情况下利润超过5万元”，则 ．
19.（Ⅰ）证明：∵四边形 是菱形，∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ ．
又 ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（Ⅱ）解：设 ，因为 ， ，所以 ， ，如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ，所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 则 解得 ，令 ，得 ，∴ ．
设 与平面 所成角为 ，则 ，
则 与平面 所成角的正弦值为 ．
20．解：（Ⅰ）由 得 ， ， ，
由余弦定理得， ，
解得 ， ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）存在这样的点 符合题意.
设 ， ， ，
由 ，设直线 的方程为 ，
由 得 ，
由韦达定理得 ，故 ，
又点 在直线 上， ，所以 .
因为 ，所以 ，整理得 ，
所以存在实数 ，且 的取值范围为 ．
21.解：（Ⅰ）当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以函数 在 处取得极大值，也是最大值，且 ．
（Ⅱ）令 ， ，
当 时， ，函数 在 上递增，无极值点；
当 时，设 ， .
①若 ， ， ，函数 在 上递增，无极值点；
②若 时， ，设方程 的两个根为 ， （不妨设 ），
因为 ， ，所以 ， ，
所以当 ， ，函数 递增；
当 ， ，函数 递减；
当 ， ，函数 递增；
因此函数有两个极值点.
当 时， ，由 ，可得 ，
所以当 ， ，函数 递增；
当 时， ，函数 递减；
因此函数有一个极值点．
综上，函数有一个极值时 ；函数有两个极值点时 ．
22.解：（Ⅰ）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
则曲线 的普通方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程 ，曲线 的极坐标方程为 ，联立得 ，又 ，则 或 ，
当 时， ；当 时， ，所以交点坐标为 ， ．
23.证明：（Ⅰ） ，
当且仅当 时取“ ”号．
（Ⅱ）由题意知， ，即 ，即 ，
则 ，
当且仅当 ， 时取“ ”号．
