2015——2016学年度上学期孝感市六校教学联盟
期末联合考试
高三数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
2. 已知 ， ， ，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
3．设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为( )
A． B． C． D．
4. 命题“对任意 ，都有 ”的否定为（ ）
A.对任意 ，都有
B. 对任意 ，都有
C.存在 ，使得
D.存在 ，使得
5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第 项是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，且 ，则tanφ＝（ ）
A． B． C． D．
7.已知等差数列{an}，满足a1＋a5＝2，a2＋a14＝12，则此数列的前10项和S10＝（ ）
A.7 B. 14 C.21 D.35
8. 设 ，则以 为坐标的点落在不等式 所表示的平面区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9. 已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2y－3x的最大值为（ ）
A. －3 B. 2 C. 4 D. 5
11.曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．45° B． 30° C．60° D．120°
12. 已知函数 则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是增函数
C: 是周期函数 D. 的值域为
二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）
13．已知等比数列前 项和为 ，若 , ，则 _______
14. 设函数 ，则 的值是________．
15．已知x,y的取值如下表：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
从所得的散点图分析，y与x线性相关，且 ，则 =_________.
16.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
三、 解答题：（本大题6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在锐角 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ，若 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
18.（本小题满分12分）
在等差数列｛ }中，已知 ， ，
（Ⅰ）求数列｛ }的通项 ；
（Ⅱ）求数列｛ }的前9项和 ;
（Ⅲ）若 ，求数列 的前 项和 .
19．（本题满分12分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求 、 、 的值；
（Ⅱ）从年龄段在 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 人参加户外低碳体验活动，其中选取 人作为领队，求选取的 名领队中恰有1人年龄在 岁的概率.
20. （本题满分12分）
如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证： （Ⅰ）平面PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．
21. （本题满分12分）
已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为 和 ，且| |=2，点（1， ）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过 的直线 与椭圆C相交于A，B两点，若 A B的面积为 ，求以 为圆心且与直线 相切圆的方程．
22. （本题满分12分）
已知：已知函数 ，
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求实数 ；
（Ⅱ）若 ，求 的极值；
（Ⅲ）当 时， 在 上的最小值为 ，求 在该区间上的最大值．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D C B D D C D C A D
13. 52 14. 4 15. 2.6 16.
17． 解：（Ⅰ）在锐角 中，由余弦定理得： ，
，………4分
解得： .………5分
（Ⅱ） .………8分
………10分
18.解：（Ⅰ）因为 ， ，设公差为d
得 ，---------------（公式对）2分
解得 ，
所以 .-----------------------------------------4分
（Ⅱ） .--------（公式2分，结论2分）---8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）
所以 是首项 ，公比 的等比数列，-------------9分
所以 . -------（公式2分，结论2分） ----12分
19.解:（Ⅰ）第二组的频率为 ，所以高为 ．频率直方图如下：
…………………… 2分
第一组的人数为 ，频率为 ，所以 ．
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为 ，所以 ．
第四组的频率为 ，所以第四组的人数为 ，
所以 ． …………………………5分
（Ⅱ）因为 岁年龄段的“低碳族”与 岁年龄段的“低碳族”的比值为 所以采用分层抽样法抽取6人， 岁中有4人， 岁中有2人. ……………8分
设 岁中的4人为 、 、 、 ， 岁中的2人为 、 ，则选取2人作为领队的有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共15种；其中恰有1人年龄在 岁的有 、 、 、 、 、 、 、 ，共8种. …………10分
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在 岁的概率为 .…………………12分
20.解： 证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．…………………6分
（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE…………………12分
21. 解：（Ⅰ）因为| |=2，所以 .
又点（1， ）在该椭圆上，所以 ．
所以 .
所以椭圆C的方程为 ……………．．（4分）
（Ⅱ）①当直线 ⊥x轴时，可得A（-1，- ），B（-1， ）， A B的面积为3，
不符合题意．…………（6分）
②当直线 与x轴不垂直时，设直线 的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：
，
显然 ＞0成立，设A ，B ，则
， ，可得|AB|= ……………．．（9分）
又圆 的半径r= ，∴ A B的面积= |AB| r= = ，
化简得：17 + -18=0，得k=±1，∴r = ，圆的方程为 ……………．．（12分）
注：其它解法可酌情给分。
22.解：（Ⅰ）因为 ，
曲线 在点 处的切线的斜率 ，-------------2分
依题意： . -------------3分
（Ⅱ）当 时， ， ----5分
-
+
-
单调减
单调增
单调减
所以， 的极大值为 ， 的极小值为 . ---------------------------------------8分
（Ⅲ）令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，有 ，所以 在 上的最大值为 ， ，
所以 在 上的最小值为 ，解得： .
故 在 上的最大值为 . -------------------12分
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