高三数学(理)试题答案 第1页(共6页)
合肥市2017年高三第一次教学质量检测数学试题(理)参考答案及评分标准
一、选择题:每小题5分,满分60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B C B C A B A D A D
二、填空题:每小题5分,满分20分.
(13) (14) (15) 或 (16)2
三、解答题:
(17)解:(Ⅰ)因为 为等差数列,
所以 …………6分
(Ⅱ)
当 时, ,
当 时,
,高三数学(理)试题答案 第2页(共6页)
…………12分
(18)解:(Ⅰ)
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列为
X 0 500 1000
P
…………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,选择方案甲进行抽奖所获奖金 的均值
若选择方案乙进行抽奖中奖次数 ~ ,则
抽奖所获奖金 的均值
故选择方案甲较划算. …………12分
(19)解:(Ⅰ) 四边形 ABCD 为菱形, ,连结 AC,则 为等边三角形,
又 为 中点 ,由 ∥ 得
, ,又
…………6分
(Ⅱ) 四边形 ABCD 为菱形, , ,高三数学(理)试题答案 第3页(共6页)
得 又 ,
分别以 为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz
A1
B1
D1
C1
B C
A
M
D
y
x
z
设平面 的一个法向量 ,
则有 ,令 ,则
直线 与平面 所成角 的正弦值
. …………12分
(20)解:(Ⅰ)由题意,得 , ,则椭圆 为: .
由 ,得 .
∵直线 与椭圆 有且仅有一个交点 ,
∴ ,
∴椭圆 的方程为 . …………6分高三数学(理)试题答案 第4页(共6页)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,∵直线 与y 轴交于 ,
∴
当直线 与 轴垂直时,
,
∴由 ,
当直线 与 轴不垂直时,设直线 的方程为 , ,
由 ,
依题意得, ,且
∴ ,
∴
∵ ,∴ ,
综上所述, 的取值范围是 . …………12分
(21)解:(Ⅰ)当 时, ,则
令 ,则
令 ,得 ,故 在 时取得最小值高三数学(理)试题答案 第5页(共6页)
∵ ,∴ 在 上为增函数.
∴ . …………4分
(Ⅱ) ,
由 ,得 对一切 恒成立
当 时,可得 ,所以若存在,则正整数 的值只能取
下面证明当 时,不等式恒成立
设 ,则
由(Ⅰ)ex >x2+1≥2x>x ∴ex -x>0(x>0)
∴当 时, ;当 时,
即 在 上是减函数,在 上是增函数
∴
∴当 时,不等式恒成立
所以 的最大值是 . …………12分
(22)解:(Ⅰ)
即 …………5分
(Ⅱ)将 代入 得, 即
从而,交点坐标为高三数学(理)试题答案 第6页(共6页)
所以,交点的一个极坐标为 . …………10分
(23)解:(Ⅰ)
当 时,由 或 ,得
不等式 的解集为 . …………5分
(Ⅱ)不等式 对任意的实数 恒成立,等价于对任意的实数 ,
恒成立,即
又 ,所以, . …………10分
