点击下载：江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟突破冲刺（二）数学（文）
南昌市十所省重点中学2017年二模突破冲刺交流卷（02）
高三数学文科
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）设i为虚数单位，若是纯虚数，则a的值是
（A） （B）0 （C）1 （D）2
（3）若θ是第二象限角且sinθ =，则=
（A） （B） （C） （D）
（4）设F是抛物线E：的焦点，直线l过点F且与抛物线E交于A，B两点，若F是AB的中点且，则p的值是
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（5）为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”．其内容如下：卡号的前7位是固定的，后四位从“0000”到“9999”共10000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为优惠卡，则“优惠卡”的个数是
（A）1980 （B）4096 （C）5904 （D）8020
（6）在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F在线段AD上并且AF = 2DF，设= a，= b，则=
（A）ab （B）ab
（C）ab （D）ab
（7）设表示m，n中最大值，则关于函数的命题中，真命题的个数是
①函数的周期 ②函数的值域为
③函数是偶函数 ④函数图象与直线x = 2y有3个交点
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（8）更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a = 153，b = 119，则输出的a值是
（A）16
（B）17
（C）18
（D）19
（9）设实数，，则下列不等式一定正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（10）下列方格纸中每个正方形的边长为1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长是
（A）3 （B）6 （C） （D）5
（11）设P为双曲线C：，上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若，则双曲线的离心率是
（A） （B） （C） （D）
（12）设函数= x·ex，，，若对任意的，都有成立，则实数k的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）的展开式中，x5的系数是 ．（用数字填写答案）
（14）若，，，且，那么与的夹角为 ．
（15）已知四棱锥的外接球为球，底面是矩形，面底面，且，，则球的表面积为 ．
（16）已知函数，当有最大值，且最大值大于时，则的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，，求．
（18）（本小题满分12分）
如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求到平面的距离．
（19）（本小题满分12分）
一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：
x [11，13） [13，15） [15，17） [17，19） [19，21） [21，23）
频数 2 12 34 38 10 4
（Ⅰ）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；
（Ⅱ）若x＜13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数存在两个极值点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明：．
请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．
（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；
（Ⅱ）试判断：曲线C1和C2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；
（Ⅲ）设是曲线C1上任意一点，请直接写出a + 2b的取值范围．
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式；
（Ⅱ）写出不等式的解集．
理科数学试题答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 A C B B C D C B B D A C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
题 号 13 14 15 16
答 案
（1），，故．
（2），因为z是纯虚数，所以，故．
（3）由θ是第二象限角且sinθ =知：，．
所以．
（4）设，，则，故=，即p = 4．
（5）不带“6”或“8”的号码个数为84 = 4096，故带有“6”或“8”的有5904个．
（6），故选D．
（7）下图是函数与直线在同一坐标系中的图象，由图知①②④正确，选C.
（8）第一次循环得：；第二次循环得：；第三次循环得：
；同理，第四次循环；第五次循环，此时a = b，输出a = 17，结束．
（9）由于，，A错；，B对；当时，；当时，；当时，，故不一定正确；，，故，D错．
（10）画出立体图（如图）．由图知，该几何体最长棱的棱长是5．
（11）由题设条件知，，，．
在Rt△PF1A中，由射影定理得，所以．
所以，.．
所以EF1的直线方程是，当x = c时．
即，，又，所以，即，同除以a4得，得或．
所以．
（12）由题设恒成立等价于． ①
设函数，则．
1°设k = 0，此时，当时，当时，故时单调递减，时单调递增，故．而当时取得最大值2，并且，故①式不恒成立．
2°设k < 0，注意到，，故①式不恒成立．
3°设k > 0，，此时当时，当时，故时单调递减，时单调递增，故；而当时，故若使①式恒成立，则，得．
（13）由二项式定理得，令r = 5得x5的系数是．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（1）∵，，，
∴，
∴，
即 ，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴，
又，即，∴，
故．
（18）（本小题满分12分）
19.（1）证明：取的中点，连接、．
∵为的中点，∴且．
∵平面，平面，
∴，∴，
又，∴．
∴四边形为平行四边形，则．
∵平面，平面，∴平面．
（2）连接，设到平面的距离为，
在中，，，
∴，
又，，
∴由，即（为正的高），
∴
即点到平面的距离为．
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布表作出频率分布直方图为：
估计平均值： +16×0.34+18×0.38+20×0.10+22×0.04=17.08．
估计众数：18．
（Ⅱ）∵x＜13或x≥21，则该产品不合格．
∴不合格产品共有2+4=6件，其中技术指标值小于13的产品有2件，
现从不合格的产品中随机抽取2件，
基本事件总数15，
抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件包含的基本事件个数m=8，
∴抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．
所以，其中，又，联立解得，．
所以椭圆C的方程是． … …… 4分
（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形． ……………… 5分
当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．
联立l与椭圆C的方程，消去y，得．
于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．
设点，．
由根与系数的关系得，． ……………… 7分
所以，又O到l的距离．
所以△OMN的面积．………… 10分
令，那么，当且仅当t = 3时取等．
所以△OMN面积的最大值是． … 12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设函数的定义域为，，故函数有两个极值点等价于其导函数在有两个零点．
当a = 0时，显然只有1个零点． ……………………… 2分
当a≠0时，令，那么．
若a < 0，则当x > 0时，即单调递增，所以无两个零点. … 3分
若a > 0，则当时，单调递增；当时， 单调递减，所以. 又，当x→0时→，故若有两个零点，则，得．
综上得，实数a的取值范围是． …… … 6分
（Ⅱ）要证，两边同时取自然对数得． ……… 7分
由得，得.
所以原命题等价于证明． …………… 8分
因为，故只需证，即．…… 9分
令，则，设，只需证．… 10分
而，故在单调递增，所以．
综上得．………… … 12分
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设知曲线C1的方程是．
所以曲线C1表示以为焦点，中心为原点的椭圆．……… 3分
同理曲线C2的方程是．
所以曲线C2表示以为圆心，半径是1的圆． … 5分
（Ⅱ）联立曲线C1和C2的直角坐标方程，得．
消去x，得，解得或．
由图形对称性知公共点的个数为2． 8分
（Ⅲ）a + 2b的取值范围是． … 10分
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设． 6分
（Ⅱ）不等式的解集是． 10
