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2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为实数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3.已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D． 既不充分也不必要
4.《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（ ）
A．3 B． 4 C. 5 D．6
5.双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）
A． 2 B． C. 或 D．2或
6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C. D．
7.在等比数列中，已知是方程的两根，则（ ）
A．1 B． C. D．3
8.设，则展开式的常数项为（ ）
A． -20 B． 20 C. -160 D．160
9.设，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数，则“”的概率为（ ）
A． B． C. D．
10.已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11.已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（ ）
A． 2 B． 1 C. D．
12.已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数，则 ．
14.观察下列式子：，
，
，
…，
根据以上规律，第个不等式是 ．
15.函数的图象可由函数的图象至少向左平移 个单位长度得到．
16.已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）在锐角中，角所对的边分别为，若，，求面积的最大值．
18. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：
（1）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
附：参考公式及数据
（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设为抽取成绩不低于95分同学人数，求的分布列和期望．
19. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱上一点，是的中点．
（1）若是的中点，证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角为，求的长．
20. 已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点（与点不重合），使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
21. 已知三次函数的导函数且，．
（1）求的极值；
（2）求证：对任意，都有．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若都是正实数，且，求证：．
2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）
理科数学参考答案
一、选择题：. ABACD BADCC BA
二、填空题：13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)（本小题满分12分）
解：
(I)令，则
即的递增区间为
类似可得的递减区间为
(Ⅱ)由得，，注意到是锐角三角形， ∴
由余弦定理得 ，将,代入得
由基本不等式得，即
∴，
即面积的最大值为.
(18)（本小题满分12分）
（I）如图所示
由知, 可以判断：有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
(Ⅱ) 两个班数学成绩不低于分的同学中, 成绩不低于分同学人数有名, 从中随机抽取名,
,，，
.
（19）（本小题满分12分）
证明:（I）由，知，
又平面平面，所以平面
而平面，∴
在正方形中，由分别是和的中点知
而，∴平面
∵平面 ∴平面平面.
解:(Ⅱ)取的中点为原点,直线分别为轴,建立如图所示坐标系,
显然平面的一个法向量为,
而,设,则
设是平面的法向量,则
取,则
解得,即
（20）（本小题满分12分）
解析: （I）法1：设,则依题意有
整理得,即为曲线的方程.
法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为的椭圆，易得曲线的方程为.
（Ⅱ）存在.
设直线,
则，即
由得,即
整理得
∴ 解得
综上知, 在轴上是存在点满足题意.
(21)（本小题满分12分）
解：（I）依题意得，
知在和上是减函数，在上是增函数
∴，
（II）法1：易得时，，
依题意知，只要
由知，只要
令，则
注意到，当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，
即，综上知对任意，都有
法2：易得时，，
由知, ,令
则
注意到，当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，，所以,
即.
综上知对任意，都有.
法3: 易得时，，
由知, ,令,则
令,则,知在递增,注意到,所以, 在上是减函数，在是增函数,有,即
综上知对任意，都有.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.解析: （I）曲线,即,
于是有,
化为直角坐标方程为:
（II）方法1:
即
由的中点为得,有,所以
由 得
方法2:设,则
,
∵,∴,由 得.
方法3: 设,则由是的中点得
,
∵,∴,知
∴,由 得.
方法4:依题意设直线,与联立得,
即
由得 ,因为 ,所以.
（23）解: （I）依题意,即,
∴
（II）方法1:∵
∴
当且仅当,即时取等号
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当,即时取等号.
2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）
理科数学参考答案
一、选择题：. ABACD BADCC BA
二、填空题：13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)（本小题满分12分）
解：
(I)令，则
即的递增区间为
类似可得的递减区间为……………………6分
(Ⅱ)由得，，注意到是锐角三角形， ∴
由余弦定理得 ，将,代入得
由基本不等式得，即
∴，
即面积的最大值为. ……………………12分
(18)（本小题满分12分）
（I）如图所示
由知, 可以判断：有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. ……………………6分
(Ⅱ) 两个班数学成绩不低于分的同学中, 成绩不低于分同学人数有名, 从中随机抽取名,
……………………12分
（19）（本小题满分12分）
证明:（I）由知
又平面平面，所以平面
而平面，∴
在正方形中，由分别是和的中点知
而，∴平面
∵平面 ∴平面平面.…………………6分
解:(Ⅱ)取的中点为原点,直线分别为轴,建立如图
所示坐标系,显然平面的一个法向量为,
而,设,则
设是平面的法向量,则
取,则
解得,即 ……………………12分
（20）（本小题满分12分）
解析: （I）法1：设,则依题意有
整理得,即为曲线的方程 ……………………5分
法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为
的椭圆，易得曲线的方程为. ……………………5分
（Ⅱ）存在.
设直线,
则，即
由得,即
整理得
∴ 解得
综上知, 在轴上是存在点满足题意. ……………………12分
(21)（本小题满分12分）
解：（I）依题意得，
知在和上是减函数，在上是增函数
∴， ……………………5分
（II）法1：易得时，，
依题意知，只要
由知，只要
令，则
注意到，当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，
即，综上知对任意，都有.………………12分
法2：易得时，，
由知, ,令
则
注意到，当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，，所以,
即.
综上知对任意，都有. ……………………12分
法3: 易得时，，
由知, ,令,则
令,则,知在递增,注意到,所以, 在上是减函数，在是增函数,有,即
综上知对任意，都有. ……………………12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.解析: （I）曲线,即,
于是有,
化为直角坐标方程为: 5分
（II）方法1:
即
由的中点为得,有,所以
由 得 ……………………10分
方法2:设,则
,
∵,∴,由 得.…………………10分
方法3: 设,则由是的中点得
,
∵,∴,知
∴,由 得. …………………10分
方法4:依题意设直线,与联立得,
即
由得 ,因为 ,所以.…………………10分
（23）（本小题满分10分）
解: （I）依题意,即,
∴ ……………………5分
（II）方法1:∵
∴
当且仅当,即时取等号 ……………………10分
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当,即时取等号……………………10分
