点击下载：江西省南昌二中、临川一中2017届高三下学期期中联考 数学理
南昌二中、临川一中2017届高三联考
数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则=（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则为（ ）
A. B. C. D.
3. 在某次测量中得到的样本数据如下：,若样本数据恰好是样本数据每个都减后所得数据，则、两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数
4. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，格纸上每个小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如下图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的（ ）
A. 6 B. 9 C. 18 D. 54
9. 已知函数为图像的对称中心，若该图像上相邻两条对称轴间的距离为，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折成 ，使得平面平面，则下列说法中正确的有( )
①存在点使得直线平面； ②平面内存在直线与平行
③平面内存在直线与平面平行； ④存在点使得．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和最大的正整数的值是（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13. 若向量满足,且则与的夹角为
14.的展开式中，项前的系数为
15. 已知数列的通项公式，其前项和为，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前项，记前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，则实数的取值范围是
16. 下列命题正确的是
①若函数满足，则函数的图像关于直线对称；
②在线性回归分析中，相关系数，且r越接近于1，该组数据的线性相关程度越大；
③在△ABC中，＞0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
④命题“，”的否定是“，”；
⑤由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本题满分12分)如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，的面积为，求边的长；
（2）若，求三角形的面积.
18(本题满分12分)如图，在四棱柱中，侧面底面，，底面为直角梯形，其中，，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. (本题满分12分)甲、乙两学校各派出3名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员进行第一局比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员进行第二局比赛，……,直到一方队员全被淘汰为止，已知甲队的1号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为、、，甲队的2号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为、、.
（1）在所有的比赛过程中，甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛的概率；
（2）在所有的比赛过程中，将甲队1号、2号队员一共参加了的比赛的局数作为随机变量，求的分布列与期望
20. (本题满分12分) 过原点作斜率为的直线交抛物线于 两点，
（1）当时，求的值；
(2)已知，延长交抛物线于点，延长交抛物线 于点。记直线的斜率为，问是否存在实数，都有成立，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.
21. (本题满分12分)已知函数且，为自然对数的底数。
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2) 若函数只有一个零点，求的值。
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22. (本题满分10分)已知直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的方程为:．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）写出直线与曲线C交点的一个极坐标．
23．(本题满分10分)设函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A B A A B C C C A B B
13. 【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】⑤
17. 解：（1）∵，∴，，
又，∴，………………3分
∵，∴，
在中，由余弦定理得．
∴.………………5分
（2）在三角形中，∵，∴．………………6分
在中，由正弦定理得，
又，，．∴．………………9分
…………12分
18. 解析：（1）如图，连接、、、，
则四边形为正方形，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．…………6分
（2）因为，为中点，所以，
又侧面底面，
所以底面，
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的坐标系，则，，，，
所以，，，，
设为平面的一个法向量，
由，，得
令，则，，∴，
由(1)知,所以直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.记直线与平面所成的角为,
且,
,
所以,直线与平面所成角的正弦值是.…………12分
19． 解：(1) ……………………（4分）
(2) 设表示甲学校1号队员参赛了局，表示甲学校号队员参赛了局，可能的取值为
；……………………………………（6分）
；………（8分）
…（10分）
2 3 4
p
…………………………（12分）
20. 解： (1)消去得，设，
则，一正一负
…………5分
(2)消去得，恒成立
设，则，
设，
直线方程为代入得，
由韦达定理知，所以
同理，
所以
即,
…………12分
21. (1) 当时，， 令，
时，，时，，
而
即 …………6分
(2) ，
令，得，则
（1）当时，
极小值
所以当时，有最小值
因为函数只有一个零点，且当和时，都有
所以，即
因为当时，，所以此方程无解
（2）当时，
极小值
所以当时，有最小值
因为函数只有一个零点，且当和时，都有
所以，即
设，则，
令，得
当时，；当时，；
所以当时，
所以方程有且只有一解
综上，时函数只有一个零点 …………12分
22. 解:（1）∵，
即.…………5分
（2）将代入得，即,
从而，交点坐标为.
所以，交点的一个极坐标为.…………10分
23. 解：（1）当时，
当且仅当时，取等号. …………5分
（2）时，,
,
,
因为时的最小值为，的最大值为，所以，又因为，所以.…………10分
