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2016~2017学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为实数集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（其中为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，（ ）
A． B． C． D．
8．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：
根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）
A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱理科
D．样本中的女生偏爱文科
9．运行如图所示的程序框图，输出和的值分别为（ ）
A．2，15 B．2，7 C．3，15 D．3，7
10．直角中，为斜边边的高，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线：（，）的一条渐近线为，圆：与交于，两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数（）满足，现给出如下结论：
①若是上的增函数，则是的增函数；
②若，则有极值；
③对任意实数，直线与曲线有唯一公共点.
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若直线与曲线相切，则 ．
14．有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为 ．
15．已知点，抛物线：（）的准线为，点在上，作于，且，，则 ．
16．某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中，，，，，位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行，后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知数列满足，，数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.
（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；
（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
19．如图，矩形中，，，在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20．已知椭圆：（）的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线：的交点所在的直线经过.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）分别过、作平行直线、，若直线与交于，两点，与抛物线无公共点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方，求四边形的面积的取值范围.
21．设函数，其中，是自然对数的底数.
（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线：（为参数，，）分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设，且存在，使得，求的取值范围.
2016~2017学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ABCCB 6-10: CBDCA 11、12：DD
二、填空题
13． 14．12 15． 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，
所以
又当时，，所以，
当时，…① …②
由①-②得，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列，故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
①
②
①-②得
所以
18．解：（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为
保险公司期望收益为
根据规则
解得元，
设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元，
设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元.
（Ⅱ）购买类产品的份数为份，
购买类产品的份数为份，
购买类产品的份数为份，
企业支付的总保费为元，
保险公司在这宗交易中的期望利润为元.
19．解：（Ⅰ）连接交于点，依题意得，所以，
所以，所以，所以，
即，，又，,平面.
所以平面.
又平面，所以.
（Ⅱ）因为平面平面，
由（Ⅰ）知，平面，
以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.
在中，易得，，，
所以，，，
则，，
设平面的法向量，则，即，解得，
令，得，
显然平面的一个法向量为.
所以，所以二面角的余弦值为.
20．解：（Ⅰ）依题意得，则，.
所以椭圆与抛物线的一个交点为，
于是，从而.
又，解得
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线：，
由，消去整理得，由得.
由，消去整理得，
设，，则，，
所以，
与间的距离（即点到的距离），
由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，
故，
令，则，
所以四边形的面积的取值范围为.
21．解：（Ⅰ），是上的增函数等价于恒成立.
令，得，令（）.以下只需求的最大值.
求导得，
令，，是上的减函数，
又，故1是的唯一零点，
当，，，递增；当，，，递减；
故当时，取得极大值且为最大值，
所以，即的取值范围是.
（Ⅱ）.
令（），以下证明当时，的最小值大于0.
求导得.
①当时，，；
②当时，，令，
则，又，
取且使，即，则，
因为，故存在唯一零点，
即有唯一的极值点且为极小值点，又，
且，即，故，
因为，故是上的减函数.
所以，所以.
综上，当时，总有.
22．解：（Ⅰ）因为，，，
的极坐标方程为，
的普通方程为，即，对应极坐标方程为.
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为（，）
设，，则，，
所以
，
又，，
所以当，即时，取得最大值.
23．解：（Ⅰ）当时，不等式即，等价于
或或
解得或或
即不等式的解集为.
（Ⅱ）当时，，不等式可化为，
若存在，使得，则，
所以的取值范围为.
