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山西省临汾市2017届高三考前适应性训练考试（三）
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数：
则函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
3. 已知命题：函数在上单调递增；函数在上单调递减，则在命题和中，真命题是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知数列是等差数列，，其前项和，则其公差（ ）
A． B． C. D．
5.已知平面，及直线下列说法正确的是（ ）
A．若直线与平面 所成角都是，则这两条直线平行
B．若直线与平面 所成角都是，则这两条直线不可能垂直
C. 若直线平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行
D．若直线垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直
6. 已知等比数列的前项和，则数列的前项和（ ）
A． B． C. D．
7.2017年高考前第二次适应性训练结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟和，据此估计:在全市随机抽取的名高三同学中，恰有 名同学的英语成绩超过分的概率是（ ）
A． B． C. D．
8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A． B． C. D．
9.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
10. 如图，网格纸上小正方形长为，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个棱长为的正方形毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C. D．
11. 对定义在上的连续非常函数，如果总成立，则称成等比函数.若成等比函数，则下列说法中正确的个数是（ ）
①若都是增函数，则是增函数；②若都是减函数，则是减函数；
③若都是偶函数，则是偶函数；④若都是奇函数，则是奇函数；
A． B． C. D．
12.已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆外，直线交椭圆于点，若，则点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数为偶函数，则 ．
14.设为虚数单位，则的展开式中含项的系数为 ．
15. 已知函数，若，则 ．
16.在中，分别是角的对边，且满足，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最值.
18. 如图，梯形中，，四边形为矩形，平面平面.
（1）若，求证：；
（2）在棱上是否存在点，使得直线平面？并说明理由.
19.学校的校园活动中有这样一个项目，甲箱子中装有大小相同、质地均匀的个白球，个黑球 . 乙箱子中装有大小相同、质地均匀的个白球，个黑球 .
（1）从两个箱子中分别摸出个球，如果它们都是白球则获胜，有人认为，这两个箱子里装的白球比黑球多，所以获胜的概率大于，你认为呢？并说明理由；
（2）如果从甲箱子中不放回地随机取出个球，求取到的白球数的分布列和期望；
（3）如果从甲箱子中随机取出个球放入乙箱子中，充分混合后，再从乙箱子中个球放回甲箱，求甲箱中白球个数没有减少的概率.
20. 已知动圆与圆外切，又与直线相切 .
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）若动点为直线上任一点，过点的直线与曲线相交两点.求证：.
21. 已知函数.
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）. 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线有公共点，求实数的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为.
（1）求的值；
（2）设为正数，且，求最大值.
山西省临汾市2017届高三考前适应性训练考试（三）数学（理）
试题参考答案
一、选择题
1-5:DBCDD 6-10:ADCCC 11-12：AD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：
.
(1).
(2)当时，，则当，即时，函数取到最大值；当，即时，函数取到最小值.所以，函数最大值，最小值.
18. 解：(1)容易知：两两垂直.因此，可以以为原点，以为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系.不妨设，则.
,
,即，又.
(2)在棱上存在点，使得直线平面，且，证明如下：由（1）知：.设平面的一个法向量为，则，即，可取，平面.
19. 解：(1)我认为“获胜”的概率小于，理由如下：记“获胜”为事件，则，所以获胜的概率比小.
(2)设取出的白球的个数为变量，则可取的值为.从而有：
，，
所以的发布列为：
.
（3）记“甲箱中白球个数没有减少”为事件，则
.
20. 解：(1)依题知，动圆的圆心到点的距离等于到直线的距离，所以由抛物线的定义可知：动圆的圆心轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以动圆圆心的轨迹方程为：.
(2)由题知当直线斜率为时，不符合题意，所以可设直线的方程为，联立，消去，得恒成立，所以可设，则，而，
，
所以成立.
21. 解：(1),故曲线在原点处的切线方程.
(2) ①当时，；②当时，问题等价为恒成立，设，则，因为在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以上的最小值为，所以.③当时，问题等价为恒成立，设，则，所以在上单调递减，而时，所以即可.综上所述.
（3）依第（2）问，取，有，因为在处的切线方程为.
设，则，令得或.容易知道在单调递增，在单调递减，而，所以当时，单调递增.而，所以，当时，恒成立.
所以.设分别与和的两个交点的横坐标为，则，所以.
22. 解：(1)曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为.
(2)联立，消去得，因为曲线与曲线有公共点，所以，解得，所以实数的取值范围为.
23. 解：（1） 由得，所以，又 的解集为，
所以，解得.
（2）由(1) 知，由柯西不等式得：
所以，
所以，当且仅当，即
时等号成立，所以的最大值为.
