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2017届南昌市高三第二次模拟测试卷
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分分，考试时间分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合,, 则（ ）
A. B. C. D.
2．若（为虚数单位，），则等于（ ）
A. B. C. D.
3．已知随机变量服从正态分布，若
，则等于（ ）
A. B. C. D.
4．已知函数在上可导，则“”是“为
函数的极值”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5．执行如右图程序框图，输出的为（ ）
A. B. C. D.
6．已知数列为等差数列，其前项和为，，则为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）
8．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，
下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．
问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（ ）
A. 立方丈 B. 立方丈
C. 立方丈 D. 立方丈
9．已知抛物线,过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且两点在准线上的投影分别为两点,则（ ）
A. B. C. D.
10．函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
11．若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D.
12．已知递增数列对任意均满足，记 ，则数列的前项和等于（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．已知向量，，若，则实数等于 ．
14．设，则等于 ．
15．已知等腰梯形中//，，双曲线以为焦点，且与线段(包括端点、)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
16．店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从年月起开展络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式．已知店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是 万元．
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）锐角的角所对边分别是，角的平分线交于，直线 是函数图像的一条对称轴，，求边．
18．（本小题满分12分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设多个分支机构，需要国内公司外派大量后、后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从后和后的员工中随机调查了位，得到数据如下表：
愿意被外派 不愿意被外派 合计
后
后
合计
（Ⅰ）根据调查的数据，是否有以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；
（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排名参与调查的后、后员工参加.后员工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的人报名参加，从中随机选出人，记选到愿意被外派的人数为；后员工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的人报名参加，从中随机选出人，记选到愿意被外派的人数为，求的概率．
参考数据：
（参考公式：，其中）.
19．（本小题满分12分）已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，
，点是棱的中点，点在棱上，且，//平面．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与轴交于点，
与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点且斜率大于的直线与椭圆交于两点
（），若，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知函数(为常数，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，讨论函数在区间上极值点的个数；
（Ⅱ）当，时，对任意的都有成立，求正实数的取值范围．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A B C A B B A B A D D
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13． 14． 15． 16．
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解析】（Ⅰ）因为
…………3分
令，解得，
所以递增区间是； …………6分
（Ⅱ）直线是函数图像的一条对称轴，
则，由得到， …………8分
所以在中，,由正弦定理得，
由，所以，，，…10分
所以，
所以在中，有． …………12分
18．【解析】（Ⅰ）
所以有90% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关” …………5分
（Ⅱ）“”包含：“”、 “”、 “”、 “”、 “”、 “”六个互斥事件 …………6分
且，
，
，
所以： ． …………12分
19．【解析】（Ⅰ）连接，设，
则平面平面，
//平面，//， …………3分
∽，，
，；…………6分
（Ⅱ），
又，
，，平面， …………8分
以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
，平面的法向量，
设平面的法向量，
则，
，
令，得，
即所求二面角的余弦值是． …………12分
20．【解析】（Ⅰ）因为轴，得到点， …………2分
所以 ，所以椭圆的方程是． …………5分
（Ⅱ）因为 ……6分
所以．由（Ⅰ）可知，设方程，，
联立方程得：．即得（）
又，有， …………7分
将代入（）可得：． …………8分
因为，有， …………9分
则且． (没考虑到扣1分) ………11分
综上所述，实数的取值范围为． …………12分
注：若考生直接以两个极端位置分析得出答案，只给结果2分.
21．【解析】（Ⅰ）时，，记，
则，， …………2分
当时，，时，，
所以当时，取得极小值，又，，
，所以
（ⅰ）当,即时，，函数在区间上无极值点；
（ⅱ）当即时，有两不同解，
函数在区间上有两个极值点；
（ⅲ）当即时，有一解，
函数在区间上有一个极值点；
（ⅳ）当即时，，函数在区间上
无极值点； (每错一个讨论扣1分) …………6分
（Ⅱ）当时，对任意的都有，
即，即 …………7分
记，，
由，当时，时，，
所以当时，取得最大值， …………9分
又，当时，时，，
所以当时，取得最小值， …………11分
所以只需要，即正实数的取值范围是． …………12分
22．【解析】（Ⅰ）直线的普通方程是即 …………2分
曲线的直角坐标方程是即 …5分
（Ⅱ）直线的极坐标方程是，代入曲线的极坐标方程得：，
所以． …………10分
23．【解析】（Ⅰ）不等式等价于或
或 ，解得或，
所以不等式的解集是； …………5分
（Ⅱ），， …………7分
，解得实数的取值范围是． …………10分
