厦门市2015－2016学年（上）高一年质量检测数学参考答案及评分标准
一、选择题：
DDCAD BADCB BC
二、填空题：
13． 14． 15． 16．
三、解答题：
17．本小题考查集合的概念及运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想．本题满分10分．
解：（Ⅰ）由已知， ，所以 ， 1分
所以 ， 3分
又可解得， ， 5分
所以 ． 6分
（Ⅱ）由 可得， ， 8分
结合数轴分析知， ，解得， ，
所以实数 的取值范围是 ． 10分
18．本小题考查统计的基础知识，考查统计思想在实际问题中的意义，考查运算求解能力，数据处理能力，分析问题和应用数学知识解决实际问题的能力．本题满分10分．
解：（Ⅰ）依题意 ， …………………………1分
， …………………………2分
， ……………………3分
频率分布直方图画对. ………………6分
（Ⅱ）设中位数的估计值为x，则
解得x=75； ……………………………8分
选择中位数的估计值来描述该校同学对安全知
识的掌握程度的缺点是：难以反映出更多的关
于样本数据全体的信息． ……………10分（其他合理理由酌情给分）
19．本小题考查幂函数、分段函数等基础知识，考查函数的基本性质；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想．本题满分12分．
解：（Ⅰ）∵函数 的图象经过点 ， ，解得 2分
若 时， ，有 4分
∵ 是R上的偶函数，则 5分
综上所述: 6分
（Ⅱ） ， 8分
∵ 是R上的偶函数，
∴ ，且 9分
∵ 在 上单调递增；
等价于 ，解得： ． 11分
∴ 的解集为 ． 12分
20．本小题考查一次函数、指数函数的性质等基础知识，考查运算能力、分析和求解实际函数问题的能力，考查函数与方程思想． 本题满分12分．
解：（Ⅰ）依题意得， ，代入得到 2分
因为 ，所以 ， 4分
所以 ， 5分
所以无论x取什么值，未来该地区的人口总数不可能突破142万． 6分
（Ⅱ）解法1：
依题意， ， 7分
所以 ，所以 ， 8分
两边同乘10得 ，
所以 9分
所以 ． 10分
11分
答：2040年该地区的60岁以上人口数约为20万． 12分
（Ⅱ）解法2：依题意， ， 7分
所以 ， 8分
解得 10分
所以 11分
答：2040年该地区的60岁以上人口数约为20万． 12分
21．本小题考查随机事件的概率及运用模拟方法估计概率等基础知识, 考查数据处理能力和应用意识，考查必然与或然的数学思想． 本题满分12分．
解：（Ⅰ）甲、乙两船各派代表随机选一个数，该实验的所有基本事件共25个：
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)． 3分
以上基本事件发生的可能性是相等的， 4分
； ； 5分
∴这种规则是不公平的． 6分
（Ⅱ）设甲船到达的时间为 ，乙船到达的时间为 ．
可以看成平面中的点，实验的全部结果所构成的区域
； 8分
设事件A为“甲船先到达”，
记 ，其中 都是0～1之间的均匀随机数； 9分
要满足已知条件只需要满足 ，即 ； 10分
我们用计算机做了100次随机数模拟实验，得到的结果是88次满足 ， 11分
故 ． 12分
22．本小题考查指数函数、二次函数的图象及性质、不等式解法、函数的零点、函数恒成立等基础知识，考查运算求解能力，分析和解决问题的能力，考查分类与整合、数形结合、化归与转化等数学思想． 本题满分14分．
解：（Ⅰ）当 时，
作出图象如右：……………………………………4分
说明：正确作出抛物线图象给2分，正确作出指
数函数图象给2分．（渐近线、端点有误各扣1分）
（Ⅱ）原不等式可化为 ，
记 ,故只需 即可． 5分
①当 即 时， 在 上单调递增，
所以 ，解得 或 ，所以 ． 6分
②当 即 时，
只需 ，即 ，此时a无解． 7分
③当 即 时， 在 上单调递减，
所以 ，解得 或 ，所以 ． 8分
综上可得， 或 ． 9分
（Ⅲ）记 ， ，
①若 在 时与x轴有一个交点，则由 ，得
则 与x轴也有且仅有一个交点，由 得 或
所以 ，解得 ； 11分
②若 在 时与x轴无交点，则由①知 或 ，
此时 与x轴有两个不同交点，由 得 或
所以 ，解得 ，此时 ； 13分
由①、②可得， 或 ． 14分
